diff --git a/Zusammenfassung_DC.aux b/Zusammenfassung_DC.aux index 7b26755..02fe797 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.aux +++ b/Zusammenfassung_DC.aux @@ -27,6 +27,7 @@ \@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{6}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{6}\protected@file@percent } +\newlabel{Der Ring Z}{{2.2}{6}} \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{6}\protected@file@percent } \newlabel{modulare_addition}{{2.2.1}{6}} \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.1}Inverse bezüglich der Addition}{6}\protected@file@percent } @@ -40,7 +41,9 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.2}Inverse Matrix}{7}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.3}Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus}{7}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Euklid'scher Algorithmus}{8}\protected@file@percent } +\newlabel{euklid}{{2.3.1}{8}} \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}erweiterter Euklid'scher Algorithmus}{8}\protected@file@percent } +\newlabel{erweiterter Euklid}{{2.3.2}{8}} \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.2.1}Beispiel}{8}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.4}Euler'sche $\varphi $-Funktion}{9}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}$\varphi $-Funktion und Primzahlen}{9}\protected@file@percent } @@ -127,3 +130,7 @@ \@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} \@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} \newlabel{endliche Körper}{{7}{31}} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.1}Polynomdivision mit Rest}{31}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent } diff --git a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk index be35db5..b675c63 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk +++ b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk @@ -1,7 +1,7 @@ # Fdb version 3 -["pdflatex"] 1600272631 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600272632 +["pdflatex"] 1600286191 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600286193 "./images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c "" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600272632 12494 4345bca2675f016f058b2910548e8b0c "" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc" 1591545468 2971 def0b6c1f0b107b3b936def894055589 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc" 1591545468 2900 1537cc8184ad1792082cd229ecc269f4 "" @@ -34,6 +34,7 @@ "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx10.tfm" 1591545468 1328 c834bbb027764024c09d3d2bf908b5f0 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm" 1591545468 1324 c910af8c371558dc20f2d7822f66fe64 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx6.tfm" 1591545468 1344 8a0be4fe4d376203000810ad4dc81558 "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx7.tfm" 1591545468 1336 3125ccb448c1a09074e3aa4a9832f130 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx8.tfm" 1591545468 1332 1fde11373e221473104d6cc5993f046e "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmex10.tfm" 1591545468 992 662f679a0b3d2d53c1b94050fdaa3f50 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi10.tfm" 1591545468 1528 abec98dbc43e172678c11b3b9031252a "" @@ -124,13 +125,13 @@ "/usr/share/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1591545468 33301 a3134070eacafb10b1f371612ce2650d "" "/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1599679088 336293 c5f06245634c6948183f249094ec0495 "" "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1599679062 2514046 697126967b119c0aab990fe8008da9f2 "" - "Zusammenfassung_DC.aux" 1600272632 12494 4345bca2675f016f058b2910548e8b0c "pdflatex" + "Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "pdflatex" "Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 "" - "Zusammenfassung_DC.toc" 1600272632 7376 92dc5590944bfbddf9b7155f48f21210 "pdflatex" + "Zusammenfassung_DC.toc" 1600286192 7677 055f438e46365bb7f26c7569b268fdf8 "pdflatex" "chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600272630 17101 fcd3ee779a8d9c95b424486735cf18cd "" - "chapters/Endliche Körper.tex" 1600270927 70 d413d126a5cc5f4ae28b8bbe2c8e1ed3 "" + "chapters/Endliche Körper.tex" 1600286191 3328 2ff1862b342b955e8b9fbe364a07affe "" "chapters/IT-Sicherheit.tex" 1599950390 6191 fdec0aff09dab6668264963cb44ee2f3 "" - "chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600002690 6678 5f1596dba278e6bc1791a5615776653a "" + "chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600284018 6736 3dece8651acf670a27e1fb6d604e2027 "" "chapters/Stromverschlüsselungsverfahren.tex" 1600194483 9836 ddaca4f3d88a46ce7c40ec5d75657c71 "" "chapters/Substitutionsverfahren.tex" 1600001305 6264 cba30a66f463934bc822d2ee54ac4b90 "" "chapters/Verschlüsselungsverfahren.tex" 1600003902 7321 b77786564ba0de93d6d5b8a73400fcd1 "" @@ -158,9 +159,9 @@ "images/zustandsabhängige Stromverschlüsselung.png" 1600002333 10276 422a1760594d1c860f8d7aa6dc5ed032 "" "images/Übertragungsmanipulation.png" 1599947212 3178 33bbd19fca19c787748d9158d802ceb1 "" (generated) - "Zusammenfassung_DC.toc" - "Zusammenfassung_DC.log" "Zusammenfassung_DC.pdf" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" + "Zusammenfassung_DC.log" "Zusammenfassung_DC.aux" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" + "Zusammenfassung_DC.toc" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" diff --git a/Zusammenfassung_DC.fls b/Zusammenfassung_DC.fls index 331178f..40c8b36 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fls +++ b/Zusammenfassung_DC.fls @@ -269,6 +269,10 @@ INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm10.tfm INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx7.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc diff --git a/Zusammenfassung_DC.log b/Zusammenfassung_DC.log index ff667b5..7ca9bc4 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.log +++ b/Zusammenfassung_DC.log @@ -1,4 +1,4 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 18:10 +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 21:56 entering extended mode restricted \write18 enabled. file:line:error style messages enabled. @@ -291,7 +291,7 @@ File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) \tf@toc=\write3 [2] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex Kapitel 1. -<./images/Skytale.png, id=21, 614.6965pt x 351.3125pt> +<./images/Skytale.png, id=22, 614.6965pt x 351.3125pt> File: ./images/Skytale.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: ./images/Skytale.png used on input line 6. @@ -304,7 +304,7 @@ Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 11--12 [3 ] -<./images/Vignère-Verfahren.png, id=32, 444.41896pt x 257.5138pt> +<./images/Vignère-Verfahren.png, id=33, 444.41896pt x 257.5138pt> File: ./images/Vignère-Verfahren.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: ./images/Vignère-Verfahren.png used on input line 50. @@ -564,22 +564,22 @@ LaTeX Font Info: Font shape `T1/cmtt/bx/n' in size <10.95> not available (Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 244. ) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Endliche Körper.tex [30] Kapitel 7. -) [31 +[31 -] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) +]) [32] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: - 6337 strings out of 480478 - 89016 string characters out of 5905960 - 350904 words of memory out of 5000000 - 22205 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 562824 words of font info for 113 fonts, out of 8000000 for 9000 + 6345 strings out of 480478 + 89122 string characters out of 5905960 + 351938 words of memory out of 5000000 + 22212 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 564056 words of font info for 117 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 30i,10n,37p,377b,255s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s {/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc} -Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (32 pages, 2599251 bytes). +Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2603298 bytes). PDF statistics: - 241 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 155 compressed objects within 2 object streams + 244 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 157 compressed objects within 2 object streams 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 116 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) diff --git a/Zusammenfassung_DC.pdf b/Zusammenfassung_DC.pdf index 339c1b1..e1be7dc 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.pdf and b/Zusammenfassung_DC.pdf differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz index 8114fed..601df36 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz and b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.toc b/Zusammenfassung_DC.toc index e7fe1a3..d890e91 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.toc +++ b/Zusammenfassung_DC.toc @@ -95,3 +95,7 @@ \contentsline {section}{\numberline {6.6}AES (Advanced Encryption Standard)}{29}% \contentsline {subsection}{\numberline {6.6.1}AES-128}{29}% \contentsline {chapter}{\numberline {7}Endliche Körper $\mathbb {F}_{p^n}$}{31}% +\contentsline {section}{\numberline {7.1}Polynomdivision mit Rest}{31}% +\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}% +\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}% +\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}% diff --git a/chapters/Endliche Körper.tex b/chapters/Endliche Körper.tex index 787ae9e..ccf5111 100644 --- a/chapters/Endliche Körper.tex +++ b/chapters/Endliche Körper.tex @@ -1 +1,50 @@ -\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper} \ No newline at end of file +\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper} + $\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}_p$ ($p$ ist eine Primzahl) ist ein Körper. + Zudem können Körper auch für beliebige Primzahlpotenzen $p^n$ mit $n\in\mathbb{N},n>0$ mithilfe der Polynome aus $\mathbb{F}_p$ vom Grad $n$. + Hierbei lässt sich allerdings analog zu $\mathbb{Z}$ (siehe \ref{Der Ring Z}) durch eine Polynomdivision mit Rest durch $p(x)$ ein Wert in $\mathbb{F}_{p^n}$ erzeugen. + + \section{Polynomdivision mit Rest} + Ist $\mathbb{F}$ ein Körper und $a(x),b(x)\in\mathbb{F}[x],b(x)\ne0$, so gibt es eindeutig bestimmte Polynome $q(x),r(x)\in\mathbb{F}$ mit: + $$a(x)=b(x)\cdot q(x)+r(x)\text{ und } 0\le\text{grad}(r(x))<\text{grad}(b(x))$$ + Alternativ wird für den Rest $r(x)$ auch \say{$a(x) \mod b(x)=r(x)$} geschrieben. + + \section{Berechnung der Inversen} + Der größte gemeinsame Teiler (das Polynom mit den höchsten Grad, dass $a(x)$ und $b(x)$ teilt) kann mithilfe des Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{euklid}) berechnet werden. + Ist $\mathbb{F}_{p^n}$ bezüglich eines irreduziblen Polynoms $p(x)$ definiert, + lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen. + + \section{$\mathbb{F}_2$} + + \subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$} + \begin{itemize} + \item Polynome von Grad 1 (lineare Polynome) sind immer irreduziblen. + Für $\mathbb{F}_2$ sind dies: + $$\begin{aligned} + p_{1,1}(x)=&x\\ + p_{1,2}(x)=&x+1 + \end{aligned}$$ + + \item Es gibt in $\mathbb{F}_2$ 4 paarweise verschiedene Polynome von Grad 2. + 3 davon haben eine Nullstelle und lassen sích daher in Linearfaktoren zerlegen. + Das einzige irreduzible Polynom von Grad 2 ist: + $$p_2(x)=x^2+x+1$$ + \item Ein Polynom von Grad 3 ist genau dann irreduzible, falls $p(x)$ keine Nullstellen hat. + Dies trifft für die folgenden zwei Polynome zu: + $$\begin{aligned} + p_{3,1}(x)=&x^3+x+1\\ + p_{3,2}(x)=&x^3+x^2+1\\ + \end{aligned}$$ + \item Ein Polynom von Grad 4 ist genau dann irreduzible, wenn $p(x)$ keine Nullstelle hat und auch nicht das Quadrat von $p_2(x)$ ($x^4+x^2+1$) ist: + $$\begin{aligned} + p_{4,1}(x)=&x^4+x+1\\ + p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\ + p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\ + \end{aligned}$$ + \end{itemize} \ No newline at end of file diff --git a/chapters/Modulare Arithmetik.tex b/chapters/Modulare Arithmetik.tex index 6f2d0bc..3d5e8e2 100644 --- a/chapters/Modulare Arithmetik.tex +++ b/chapters/Modulare Arithmetik.tex @@ -7,7 +7,7 @@ a\mod b :&= r \\ \end{aligned}$$ - \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$} + \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}\label{Der Ring Z} Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$ \subsection{Addition und Multiplikation}\label{modulare_addition} @@ -78,7 +78,7 @@ Der Euklid'sche Algorithmus lässt sich auch über $\mathbb{Z}_n$ verwenden. Man spricht dann von dem erweiterten Euklid'schen Algorithmus. - \subsection{Euklid'scher Algorithmus} + \subsection{Euklid'scher Algorithmus}\label{euklid} gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{Z}$ \begin{enumerate} \item $a:=a_0$ und $b:=b_0$ @@ -89,7 +89,7 @@ \item goto 2. \end{enumerate} - \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus} + \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}\label{erweiterter Euklid} gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{N}_0$\\ gesucht: $\alpha\cdot a_0+\beta \cdot b_0 = g = ggT(a_0,b_0)$ \begin{enumerate}