diff --git a/Zusammenfassung_DC.aux b/Zusammenfassung_DC.aux index 981e03b..0f78155 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.aux +++ b/Zusammenfassung_DC.aux @@ -28,8 +28,18 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{5}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{5}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Inverse bezüglich der Addition}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Subtraktion}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Teiler, Vielfache}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.4.1}Teilerregeln}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Kongruenz}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.1}Inverse bezüglich der Addition}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.2}Inverse bezüglich der Multiplikation}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Subtraktion}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Teiler, Vielfache}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.3.1}Teilerregeln}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Kongruenz}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Matrizen}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.1}Determinantenberechnung}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.2}Inverse Matrix}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.3}Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus}{6}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Euklid'scher Algorithmus}{7}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}erweiterter Euklid'scher Algorithmus}{7}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.2.1}Beispiel}{7}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.4}Euler'sche $\varphi $-Funktion}{8}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}$\varphi $-Funktion und Primzahlen}{8}\protected@file@percent } diff --git a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk index adb8e31..94bee34 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk +++ b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk @@ -1,9 +1,9 @@ # Fdb version 3 -["pdflatex"] 1599937774 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1599937775 - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1599937775 3026 394144d425955b5ef35161f592c3def5 "pdflatex" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1599932405 776 629bb690b6537f5a54f4a26847917ee0 "" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" 1599937775 1739 2857bf20378d4ba3b74f2baf967b8e5c "pdflatex" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1599937773 1865 d70d02005b386c76de9192513e5825e4 "" +["pdflatex"] 1599946109 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1599946109 + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1599946109 4223 bfc2de91ab28f7973e0e5cebcf5b2c29 "pdflatex" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1599943737 774 9f8b59e7677cec3b74b36b10238c52e9 "" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" 1599946109 2526 c9dcbfe528faeb2811932085e1ea53ea "pdflatex" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1599946107 6653 1e82ed4e8bdea8018839387aa5932182 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex" 1599932297 6278 c818cf102ae34acc809962d2b72f2268 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Vignère-Verfahren.png" 1599929213 15507 459514839914b680af2e81b7bdc33933 "" @@ -46,9 +46,11 @@ "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs7.tfm" 1591545468 692 1b6510779f0f05e9cbf03e0f6c8361e6 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb" 1591545468 30251 6afa5cb1d0204815a708a080681d4674 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb" 1591545468 36299 5f9df58c2139e7edcf37c8fca4bd384d "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb" 1591545468 36741 fa121aac0049305630cf160b86157ee4 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb" 1591545468 37166 8ab3487cbe3ab49ebce74c29ea2418db "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb" 1591545468 35469 70d41d2b9ea31d5d813066df7c99281c "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb" 1591545468 35752 024fb6c41858982481f6968b5fc26508 "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb" 1591545468 32734 69e00a6b65cedb993666e42eedb3d48f "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb" 1591545468 32726 0a1aea6fcd6468ee2cf64d891f5c43c8 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb" 1591545468 32569 5e5ddc8df908dea60932f3c484a54c0d "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb" 1591545468 32626 4f5c1b83753b1dd3a97d1b399a005b4b "" @@ -106,5 +108,5 @@ (generated) "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" diff --git a/Zusammenfassung_DC.fls b/Zusammenfassung_DC.fls index 4ef426a..5c25e97 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fls +++ b/Zusammenfassung_DC.fls @@ -153,9 +153,11 @@ INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassu INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb diff --git a/Zusammenfassung_DC.log b/Zusammenfassung_DC.log index 30f8886..63b693f 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.log +++ b/Zusammenfassung_DC.log @@ -1,4 +1,4 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.11) 12 SEP 2020 21:09 +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.11) 12 SEP 2020 23:28 entering extended mode restricted \write18 enabled. file:line:error style messages enabled. @@ -277,7 +277,7 @@ File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) ] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex Kapitel 1. - + File: images/Skytale.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: images/Skytale.png used on input line 6. @@ -302,22 +302,27 @@ Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 47--51 [3 ]) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex [4] Kapitel 2. -) [5 +[5 -] [6] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) +] [6] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 108--109 + + [] + +[7]) [8] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: 5305 strings out of 480478 72040 string characters out of 5905959 - 339778 words of memory out of 5000000 + 342778 words of memory out of 5000000 21244 multiletter control sequences out of 15000+600000 553003 words of font info for 80 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 30i,9n,37p,353b,217s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s -{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} -Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (7 pages, 2206985 bytes). +{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} +Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (9 pages, 2238968 bytes). PDF statistics: - 109 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 77 compressed objects within 1 object stream + 123 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 87 compressed objects within 1 object stream 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 11 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) diff --git a/Zusammenfassung_DC.pdf b/Zusammenfassung_DC.pdf index dc4e565..04d7966 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.pdf and b/Zusammenfassung_DC.pdf differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz index 7db228f..808a48c 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz and b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.tex b/Zusammenfassung_DC.tex index eff2a8a..4cbef93 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.tex +++ b/Zusammenfassung_DC.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \thispagestyle{empty} \end{titlepage} -\tableofcontents{} +\tableofcontents \pagebreak \input{chapters/Substitutionsverfahren.tex} diff --git a/Zusammenfassung_DC.toc b/Zusammenfassung_DC.toc index d3f4784..90db485 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.toc +++ b/Zusammenfassung_DC.toc @@ -18,8 +18,18 @@ \contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{5}% \contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{5}% \contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{5}% -\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Inverse bezüglich der Addition}{5}% -\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Subtraktion}{5}% -\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Teiler, Vielfache}{5}% -\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.4.1}Teilerregeln}{5}% -\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Kongruenz}{6}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.1}Inverse bezüglich der Addition}{5}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.2}Inverse bezüglich der Multiplikation}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Subtraktion}{6}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Teiler, Vielfache}{6}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.3.1}Teilerregeln}{6}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Kongruenz}{6}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Matrizen}{6}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.1}Determinantenberechnung}{6}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.2}Inverse Matrix}{6}% +\contentsline {section}{\numberline {2.3}Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus}{6}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Euklid'scher Algorithmus}{7}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}erweiterter Euklid'scher Algorithmus}{7}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.2.1}Beispiel}{7}% +\contentsline {section}{\numberline {2.4}Euler'sche $\varphi $-Funktion}{8}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}$\varphi $-Funktion und Primzahlen}{8}% diff --git a/chapters/Modulare Arithmetik.tex b/chapters/Modulare Arithmetik.tex index 300a417..d673a2d 100644 --- a/chapters/Modulare Arithmetik.tex +++ b/chapters/Modulare Arithmetik.tex @@ -18,13 +18,24 @@ \end{aligned} \end{equation} - \subsection{Inverse bezüglich der Addition} - jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses: - $$ -a := - \begin{cases} - 0 &\text{für }a=0 \\ - n-a &\text{sonst} - \end{cases}$$ + \subsubsection{Inverse bezüglich der Addition} + jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses: + $$ -a := + \begin{cases} + 0 &\text{für }a=0 \\ + n-a &\text{sonst} + \end{cases}$$ + + \subsubsection{Inverse bezüglich der Multiplikation} + ein Element $a\in \mathbb{Z}_n$ ist \textit{(multiplikativ) invertierbar}, falls es ein Element $b\in \mathbb{Z}_n$ gibt, für das gilt: + $$a\cdot b = 1$$ + man schreibt auch: + $$a^{-1}:=b$$ + + Die Menge der invertierbaren Elemente in $\mathbb{Z}_n$ wird als $\mathbb{Z}_n^*$ bezeichnet: + $$\mathbb{Z}_n^* = \{a\in\mathbb{Z}_n\mid a\cdot b=1 \text{ für ein }b\in\mathbb{Z}n\}$$ + Zudem gilt, dass ein Element nur dann invertierbar ist, falls $ggT(a,n)=1$: + $$\mathbb{Z}_n^* = \{a\in\mathbb{Z}_n\mid ggT(a,n)=1\}$$ \subsection{Subtraktion} Eine Subtraktion entspricht einer Addition mit der Inverse: @@ -44,4 +55,87 @@ \subsection{Kongruenz} $a,b\in \mathbb{Z}$ sind \textit{kongruent modulo n}, falls $n\in \mathbb{N}|(a-b)$. - Man schreibt auch $a\equiv b$ \ No newline at end of file + Man schreibt auch $a\equiv b$ + + \subsection{Matrizen} + \subsubsection{Determinantenberechnung} + Die Determinante $\det(A)$ der ($N,N$)-Matrix $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le N}$ (mit ganzzahligen Einträgen) über $\mathbb{Z}_n$ wird definiert durch: + $$\det(A) \mod n = det((a_{i,j} \mod n)_{1\le i,j\le N})$$ + Zudem gilt für die Matrizen $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le N}$ und $B=(b_{ij})_{1\le i,j \le N}$ (mit ganzzahligen Einträgen): + $$\begin{aligned} + \det(A\cdot B) \mod n &= (det(A)\cdot \det(B)) \mod n \\ + &= ((\det(A) \mod n)\cdot(\det(B) \mod n)) \mod n\\ + &= (\det(A) \mod n)\cdot_{\mathbb{Z}_n}(\det(B) \mod n) + \end{aligned}$$ + + \subsubsection{Inverse Matrix} + Die Inverse einer quadratischen Matrix $A$ über $\mathbb{Z}_n$ lässt sich mithilfe der Adjunkten berechnen: + $$A^{-1} = (\det(A))^{-1} \cdot adj(A)$$ + Die Adjunkte lässt sich über $\mathbb{Z}_n$ berechnen, da lediglich Summen und Differenzen von Produkten berechnet werden müssen. + + \section{Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus} + Der Euklid'sche Algorithmus ist ein sehr effizienter Weg den ggT zweier Zahlen zu ermitteln. + Der Euklid'sche Algorithmus lässt sich auch über $\mathbb{Z}_n$ verwenden. + Man spricht dann von dem erweiterten Euklid'schen Algorithmus. + + \subsection{Euklid'scher Algorithmus} + gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{Z}$ + \begin{enumerate} + \item $a:=a_0$ und $b:=b_0$ + \item falls $b=0$ gebe $|a|$ aus und beende + \item $r:=a \mod b$ + \item $a:=b$ + \item $b:=r$ + \item goto 2. + \end{enumerate} + + \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus} + gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{N}_0$\\ + gesucht: $\alpha\cdot a_0+\beta \cdot b_0 = g = ggT(a_0,b_0)$ + \begin{enumerate} + \item $a:=a_0$, $\alpha_a=1$, $\beta_b=0$, $b := b_0$, $\alpha_b := 0$, $\beta_b:=1$ + \item falls $b=0$ gebe $g:=a$, $\alpha:=\alpha_a$ und $\beta:=\beta_a$ aus + \item $q:=a/_\mathbb{Z} b$ + \item $r:=a-q\cdot b$,$\alpha_r := \alpha_a-q\cdot \alpha_b$, $\beta_r := \beta_a-q\cdot \beta_b$ + \item $a:=b$, $\alpha_a:=\alpha_b$, $\beta_a := \beta_b$ + \item $b:=r$, $\alpha_b :=\alpha_r$ $\beta_b := \beta_r$ + \item goto 2. + \end{enumerate} + + \subsubsection{Beispiel} + Eingabe: $$a_0 = 1224\text{ und } b_0 = 156 $$ + + Berechnung:\\ + \begin{center} + \begin{tabular}{c|c|c|c} + 1224 & 156 & a,b & q\\ + \hline + 1 & 0 & 1224 \\ + 0 & 1 & 156 & 7\\ + 1 & -7 & 132 & 1\\ + -1 & 8 & 24 & 5\\ + 6 & -47 & 12 & 2 \\ + & & 0\\ + \end{tabular}\\ + \end{center} + + Ergebnis: $$6\cdot 1224 + (-47)\cdot 156 = 12$$ + + \section{Euler'sche $\varphi$-Funktion} + Die Euler'sche $\varphi$-Funktion bezeichnet die Anzahl invertierbarer Elemente in $\mathbb{Z}_n$ + $$\varphi(n):=\begin{cases} + |\mathbb{Z}_n^*| &\text{für } n\in\mathbb{N},n\ge 2\\ + 1 &\text{für } n = 1 + \end{cases}$$ + + Für $a,b\in\mathbb{N}$ mit $ggT(a,b)=1$ gilt: + $$\varphi(a\cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$$ + + Zudem gilt für ein $n\in\mathbb{N}$ dessen Primzahlzerlegung $n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$: + $$\varphi(n) = n\cdot \prod_{i=1}^r \big( 1-\frac{a}{p_i} \big)$$ + + \subsection{$\varphi$-Funktion und Primzahlen} + für eine Primzahl $p$ gilt: + $$\varphi(p)=p-1$$ + Für Primzahlpotenzen gilt zudem: + $$\varphi(p^e)=p^{e-1}(p-1)$$