diff --git a/Zusammenfassung_DC.aux b/Zusammenfassung_DC.aux index d3af4a6..981e03b 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.aux +++ b/Zusammenfassung_DC.aux @@ -22,3 +22,14 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.1}Hill-Verfahren}{4}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.4.1.1}Verschlüsselung}{4}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.4.1.2}Entschlüsselung}{4}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {2}Modulare Arithmetik}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Inverse bezüglich der Addition}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Subtraktion}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Teiler, Vielfache}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.4.1}Teilerregeln}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Kongruenz}{6}\protected@file@percent } diff --git a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk index c7d3d9c..adb8e31 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk +++ b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk @@ -1,8 +1,9 @@ # Fdb version 3 -["pdflatex"] 1599932297 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1599932298 - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1599932298 1949 12116529432ce64f301afb21eabab3af "pdflatex" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1599930757 734 0ed25421e4e0f79abf95a9f1100945bf "" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" 1599932298 1108 20c77d8520d45ff994a8428a0dc1570c "pdflatex" +["pdflatex"] 1599937774 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1599937775 + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1599937775 3026 394144d425955b5ef35161f592c3def5 "pdflatex" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1599932405 776 629bb690b6537f5a54f4a26847917ee0 "" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" 1599937775 1739 2857bf20378d4ba3b74f2baf967b8e5c "pdflatex" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1599937773 1865 d70d02005b386c76de9192513e5825e4 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex" 1599932297 6278 c818cf102ae34acc809962d2b72f2268 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Vignère-Verfahren.png" 1599929213 15507 459514839914b680af2e81b7bdc33933 "" @@ -21,6 +22,7 @@ "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecrm1728.tfm" 1591545468 3584 3c76ccb63eda935a68ba65ba9da29f1a "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecrm2074.tfm" 1591545468 3584 8e2870ec7aa9776f59654942b0923f51 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecrm2488.tfm" 1591545468 3584 406ad7b70d9a41f7833f92b6313150c8 "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecti1095.tfm" 1591545468 3072 b73d2778cc3af44970de4de5e032d7f6 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex7.tfm" 1591545468 1004 54797486969f23fa377b128694d548df "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex8.tfm" 1591545468 988 bdf658c3bfc2d96d3c8b02cfc1c94c20 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm" 1591545468 916 f87d7c45f9c908e672703b83b72241a3 "" @@ -41,8 +43,10 @@ "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmsy8.tfm" 1591545468 1120 8b7d695260f3cff42e636090a8002094 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm" 1591545468 688 37338d6ab346c2f1466b29e195316aa4 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs5.tfm" 1591545468 684 3a51bd4fd9600428d5264cf25f04bb9a "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs7.tfm" 1591545468 692 1b6510779f0f05e9cbf03e0f6c8361e6 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb" 1591545468 30251 6afa5cb1d0204815a708a080681d4674 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb" 1591545468 36299 5f9df58c2139e7edcf37c8fca4bd384d "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb" 1591545468 37166 8ab3487cbe3ab49ebce74c29ea2418db "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb" 1591545468 35469 70d41d2b9ea31d5d813066df7c99281c "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb" 1591545468 35752 024fb6c41858982481f6968b5fc26508 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb" 1591545468 32726 0a1aea6fcd6468ee2cf64d891f5c43c8 "" @@ -57,6 +61,7 @@ "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb" 1591545468 145929 f25e56369a345c4ff583b067cd87ce8e "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb" 1591545468 136101 f533469f523533d38317ab5729d00c8a "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb" 1591545468 131438 3aa300b3e40e5c8ba7b4e5c6cebc5dd6 "" + "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb" 1591545468 196446 8fbbe4b97b83e5182def6d29a44e57fb "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/rsfs/rsfs10.pfb" 1591545468 16077 4737ac34f0fb5608550f3780a0202c22 "" "/usr/share/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii" 1591545468 71627 94eb9990bed73c364d7f53f960cc8c5b "" "/usr/share/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngerman.ldf" 1591545468 2164 da22692bce498dcc4f70209c7185a346 "" @@ -100,6 +105,6 @@ "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1599837703 2514050 ecf9fe402c479fca46412778ddf38de8 "" (generated) "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.toc" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" diff --git a/Zusammenfassung_DC.fls b/Zusammenfassung_DC.fls index 8b2afd2..4ef426a 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fls +++ b/Zusammenfassung_DC.fls @@ -132,10 +132,28 @@ INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecbx1200.tfm INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Vignère-Verfahren.png INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Vignère-Verfahren.png INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/images/Vignère-Verfahren.png +INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex +INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi12.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmsy10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmex10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex7.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam7.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm7.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs7.tfm +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ecti1095.tfm INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb @@ -151,3 +169,4 @@ INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb +INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb diff --git a/Zusammenfassung_DC.log b/Zusammenfassung_DC.log index 181dad3..30f8886 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.log +++ b/Zusammenfassung_DC.log @@ -1,4 +1,4 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.11) 12 SEP 2020 19:38 +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.11) 12 SEP 2020 21:09 entering extended mode restricted \write18 enabled. file:line:error style messages enabled. @@ -277,7 +277,7 @@ File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) ] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex Kapitel 1. - + File: images/Skytale.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: images/Skytale.png used on input line 6. @@ -290,7 +290,7 @@ Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 11--12 [2 ] - + File: images/Vignère-Verfahren.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: images/Vignère-Verfahren.png used on input line 50. @@ -300,20 +300,24 @@ Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 47--51 [] -[3 ]) [4] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) +[3 ]) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Modulare Arithmetik.tex [4] +Kapitel 2. +) [5 + +] [6] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: - 5284 strings out of 480478 - 71576 string characters out of 5905959 - 338778 words of memory out of 5000000 - 21228 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 549219 words of font info for 65 fonts, out of 8000000 for 9000 + 5305 strings out of 480478 + 72040 string characters out of 5905959 + 339778 words of memory out of 5000000 + 21244 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 553003 words of font info for 80 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 30i,6n,37p,353b,217s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s -{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} -Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (5 pages, 2170741 bytes). + 30i,9n,37p,353b,217s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} +Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (7 pages, 2206985 bytes). PDF statistics: - 93 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 65 compressed objects within 1 object stream + 109 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 77 compressed objects within 1 object stream 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 11 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) diff --git a/Zusammenfassung_DC.pdf b/Zusammenfassung_DC.pdf index 8f0678b..dc4e565 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.pdf and b/Zusammenfassung_DC.pdf differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz index 309d1d8..7db228f 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz and b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.tex b/Zusammenfassung_DC.tex index 3fb949b..eff2a8a 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.tex +++ b/Zusammenfassung_DC.tex @@ -36,4 +36,6 @@ \input{chapters/Substitutionsverfahren.tex} +\input{chapters/Modulare Arithmetik.tex} + \end{document} diff --git a/Zusammenfassung_DC.toc b/Zusammenfassung_DC.toc index 137b5c5..d3f4784 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.toc +++ b/Zusammenfassung_DC.toc @@ -14,3 +14,12 @@ \contentsline {subsection}{\numberline {1.4.1}Hill-Verfahren}{4}% \contentsline {subsubsection}{\numberline {1.4.1.1}Verschlüsselung}{4}% \contentsline {subsubsection}{\numberline {1.4.1.2}Entschlüsselung}{4}% +\contentsline {chapter}{\numberline {2}Modulare Arithmetik}{5}% +\contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{5}% +\contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Inverse bezüglich der Addition}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Subtraktion}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Teiler, Vielfache}{5}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.4.1}Teilerregeln}{5}% +\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Kongruenz}{6}% diff --git a/chapters/Modulare Arithmetik.tex b/chapters/Modulare Arithmetik.tex new file mode 100644 index 0000000..300a417 --- /dev/null +++ b/chapters/Modulare Arithmetik.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\chapter{Modulare Arithmetik} + \section{Exkurs: Division mit Rest} + Für $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$ gibt es eindeutig bestimmte Element $q,r\in\mathbb{Z},0\le r<|b|$: + $$\begin{aligned} + a =b\cdot q+r\\ + a /_\mathbb{Z} b :&= q \\ + a\mod b :&= r \\ + \end{aligned}$$ + + \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$} + Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$ + + \subsection{Addition und Multiplikation} + \begin{equation} + \begin{aligned} + a +_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a+b) \mod n\\ + a \cdot_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a\cdot b) \mod n\\ + \end{aligned} + \end{equation} + + \subsection{Inverse bezüglich der Addition} + jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses: + $$ -a := + \begin{cases} + 0 &\text{für }a=0 \\ + n-a &\text{sonst} + \end{cases}$$ + + \subsection{Subtraktion} + Eine Subtraktion entspricht einer Addition mit der Inverse: + $$a-_{\mathbb{Z}_n}b := a+_{\mathbb{Z}_n}(-b) \mod n$$ + + \subsection{Teiler, Vielfache} + $b\in \mathbb{Z}$ teilt $a\in \mathbb{Z}$ falls ein $q\in \mathbb{Z}$ existiert mit: + $$ a = b\cdot q$$ + man schreibt auch $b|a$ + + \subsubsection{Teilerregeln} + \begin{enumerate} + \item $a|0$ $\forall a\in \mathbb{Z}$ + \item $a|b \Leftrightarrow a|(-b)$ + \item $a|b \text{ und } a|c \Rightarrow a|(b+c)$ + \end{enumerate} + + \subsection{Kongruenz} + $a,b\in \mathbb{Z}$ sind \textit{kongruent modulo n}, falls $n\in \mathbb{N}|(a-b)$. + Man schreibt auch $a\equiv b$ \ No newline at end of file