diff --git a/Zusammenfassung_DC.aux b/Zusammenfassung_DC.aux index 02fe797..49e939c 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.aux +++ b/Zusammenfassung_DC.aux @@ -125,6 +125,7 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.4.1}Triple-DES (3DES)}{27}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6.5}Meet-in-the-Middle-Angriff}{28}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6.6}AES (Advanced Encryption Standard)}{29}\protected@file@percent } +\newlabel{aes}{{6.6}{29}} \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.6.1}AES-128}{29}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {7}Endliche Körper $\mathbb {F}_{p^n}$}{31}\protected@file@percent } \@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} @@ -134,3 +135,4 @@ \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent } \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {7.3.1.1}Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in \mathbb {F}_2[x]$}{32}\protected@file@percent } diff --git a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk index b675c63..10fcd63 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk +++ b/Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk @@ -1,7 +1,7 @@ # Fdb version 3 -["pdflatex"] 1600286191 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600286193 +["pdflatex"] 1600358573 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600358575 "./images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c "" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600358575 13254 c5e37f4acc6cb1cc56ef06d9d89a4e17 "" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc" 1591545468 2971 def0b6c1f0b107b3b936def894055589 "" "/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc" 1591545468 2900 1537cc8184ad1792082cd229ecc269f4 "" @@ -125,11 +125,11 @@ "/usr/share/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1591545468 33301 a3134070eacafb10b1f371612ce2650d "" "/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1599679088 336293 c5f06245634c6948183f249094ec0495 "" "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1599679062 2514046 697126967b119c0aab990fe8008da9f2 "" - "Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "pdflatex" + "Zusammenfassung_DC.aux" 1600358575 13254 c5e37f4acc6cb1cc56ef06d9d89a4e17 "pdflatex" "Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 "" - "Zusammenfassung_DC.toc" 1600286192 7677 055f438e46365bb7f26c7569b268fdf8 "pdflatex" - "chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600272630 17101 fcd3ee779a8d9c95b424486735cf18cd "" - "chapters/Endliche Körper.tex" 1600286191 3328 2ff1862b342b955e8b9fbe364a07affe "" + "Zusammenfassung_DC.toc" 1600358575 7798 9335dadd30ac30ba7ab5fca066ed8a34 "pdflatex" + "chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600357819 17225 db24f9d3d23fd17831ff4473e048373c "" + "chapters/Endliche Körper.tex" 1600358573 5003 49f8c4f5b7dd54aa3a8fb414841a771c "" "chapters/IT-Sicherheit.tex" 1599950390 6191 fdec0aff09dab6668264963cb44ee2f3 "" "chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600284018 6736 3dece8651acf670a27e1fb6d604e2027 "" "chapters/Stromverschlüsselungsverfahren.tex" 1600194483 9836 ddaca4f3d88a46ce7c40ec5d75657c71 "" @@ -159,9 +159,9 @@ "images/zustandsabhängige Stromverschlüsselung.png" 1600002333 10276 422a1760594d1c860f8d7aa6dc5ed032 "" "images/Übertragungsmanipulation.png" 1599947212 3178 33bbd19fca19c787748d9158d802ceb1 "" (generated) - "Zusammenfassung_DC.pdf" - "Zusammenfassung_DC.log" "Zusammenfassung_DC.aux" + "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" + "Zusammenfassung_DC.log" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log" "Zusammenfassung_DC.toc" - "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" + "Zusammenfassung_DC.pdf" diff --git a/Zusammenfassung_DC.log b/Zusammenfassung_DC.log index 7ca9bc4..934b793 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.log +++ b/Zusammenfassung_DC.log @@ -1,4 +1,4 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 21:56 +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 17 SEP 2020 18:02 entering extended mode restricted \write18 enabled. file:line:error style messages enabled. @@ -556,27 +556,27 @@ File: ./images/AES S-Box.png Graphic file (type png) Package pdftex.def Info: ./images/AES S-Box.png used on input line 196. (pdftex.def) Requested size: 339.66945pt x 317.18542pt. [29 ] -LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+cmtt on input line 244. +LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+cmtt on input line 245. (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/t1cmtt.fd File: t1cmtt.fd 2019/12/16 v2.5j Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: Font shape `T1/cmtt/bx/n' in size <10.95> not available -(Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 244. +(Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 245. ) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Endliche Körper.tex [30] Kapitel 7. [31 ]) [32] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: - 6345 strings out of 480478 - 89122 string characters out of 5905960 - 351938 words of memory out of 5000000 - 22212 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 6346 strings out of 480478 + 89127 string characters out of 5905960 + 351949 words of memory out of 5000000 + 22213 multiletter control sequences out of 15000+600000 564056 words of font info for 117 fonts, out of 8000000 for 9000 1141 hyphenation exceptions out of 8191 30i,10n,37p,377b,255s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s {/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc} -Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2603298 bytes). +Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2604809 bytes). PDF statistics: 244 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 157 compressed objects within 2 object streams diff --git a/Zusammenfassung_DC.pdf b/Zusammenfassung_DC.pdf index e1be7dc..085d93a 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.pdf and b/Zusammenfassung_DC.pdf differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz index 601df36..1dfac62 100644 Binary files a/Zusammenfassung_DC.synctex.gz and b/Zusammenfassung_DC.synctex.gz differ diff --git a/Zusammenfassung_DC.toc b/Zusammenfassung_DC.toc index d890e91..ae5e75d 100644 --- a/Zusammenfassung_DC.toc +++ b/Zusammenfassung_DC.toc @@ -99,3 +99,4 @@ \contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}% \contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}% \contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}% +\contentsline {subsubsection}{\numberline {7.3.1.1}Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in \mathbb {F}_2[x]$}{32}% diff --git a/chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex b/chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex index 705e5db..4aae3ec 100644 --- a/chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex +++ b/chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex @@ -166,7 +166,7 @@ Durchschnittlich ist mit $1+\frac{|\mathscr K|}{|\mathscr M|}$ solcher Paare zu rechnen. Die Paare können nun durch Ausprobieren der anderen bekannten Nachrichten $\{m_i\setminus m_1\}$ schnell ausgeschlossen werden. - \section{AES (Advanced Encryption Standard)} + \section{AES (Advanced Encryption Standard)}\label{aes} Der AES ist für Schlüssel mit den Bitlängen 128, 192 und 256 definiert. Im folgenden wird AES-128 als Synonym für alle möglichen Schlüssellängen verwendet. @@ -219,7 +219,8 @@ 03 & 02 & 01 & 02 \\ \end{pmatrix}$$ Hierbei ist wichtig anzumerken, dass die Multiplikation nicht in $\mathbf{Z}_{256}$ berechnet wird. - Stattdessen wird sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper}) + Stattdessen sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper}), + der bezüglich des irreduziblen Polynoms $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ definiert ist. \item AddRoundKey()\\ Es wird eine XOR-Operation der Einträge des S-Arrays mit den entsprechenden Einträgen aus \textbf{K} durchgeführt. Dies entspricht einer Matrixaddition in $\mathbb{F}_{256}$: diff --git a/chapters/Endliche Körper.tex b/chapters/Endliche Körper.tex index ccf5111..053928d 100644 --- a/chapters/Endliche Körper.tex +++ b/chapters/Endliche Körper.tex @@ -21,6 +21,8 @@ lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen. \section{$\mathbb{F}_2$} + Ein Polynom von Grad $n$ ist durch die Folge von $n+1$ Koeffizienten $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ eindeutig definiert. + Bei Polynomen aus $\mathbb{F}_2[x]$ ergibt dies eine Bitfolge. \subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$} \begin{itemize} @@ -47,4 +49,27 @@ p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\ p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\ \end{aligned}$$ - \end{itemize} \ No newline at end of file + \end{itemize} + + \subsubsection{Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$} + Das Polynom, welches die MixColumns()-Substitution im AES (siehe \ref{aes}) definiert ist auf die Irreduzibilität zu überprüfen. + Falls $m(x)$ reduzibel wäre, gebe es einen irreduziblen Faktor $d(x)$ für den gilt: + $$\text{grad}(d(x))\in\{1,2,3,4\}$$ + \vspace{2mm} + Nun werden die verschiedenen Grade untersucht: + \begin{enumerate} + \item es gibt keinen linearen Faktor, da $m(0)=m(1)=1\ne 0$ + \item eine Polynomdivision mit $p_2(x)$ ergibt $d(x)\mod p_2(x)=x+1\ne 0$ + \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 3 ergeben: + $$\begin{aligned} + m(x)\mod p_{3,1}=&x^2\\ + m(x)\mod p_{3,2}=&x+1\\ + \end{aligned}$$ + \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 4 ergeben: + $$\begin{aligned} + m(x)\mod p_{4,1}=&x^3+x^2+1\\ + m(x)\mod p_{4,2}=&x^3+x^2\\ + m(x)\mod p_{4,3}=&x^3+x^2\\ + \end{aligned}$$ + \end{enumerate} + Da es keinen irreduziblen Faktor $d(x)$ gibt ist $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ selbst irreduzibel. \ No newline at end of file