\chapter{Modulare Arithmetik}
    \section{Exkurs: Division mit Rest}
        Für $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$ gibt es eindeutig bestimmte Element $q,r\in\mathbb{Z},0\le r<|b|$:
        $$\begin{aligned}
            a =b\cdot q+r\\
            a /_\mathbb{Z} b :&= q \\
            a\mod b :&= r \\
        \end{aligned}$$

    \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}
        Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$

        \subsection{Addition und Multiplikation}
            \begin{equation}
                \begin{aligned}
                    a +_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a+b) \mod n\\
                    a \cdot_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a\cdot b) \mod n\\
                \end{aligned}
            \end{equation}

        \subsection{Inverse bezüglich der Addition}
            jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses:
            $$ -a := 
            \begin{cases}
                0   &\text{für }a=0 \\
                n-a &\text{sonst}
            \end{cases}$$
        
        \subsection{Subtraktion}    
            Eine Subtraktion entspricht einer Addition mit der Inverse:
            $$a-_{\mathbb{Z}_n}b := a+_{\mathbb{Z}_n}(-b) \mod n$$
        
        \subsection{Teiler, Vielfache}
            $b\in \mathbb{Z}$ teilt $a\in \mathbb{Z}$ falls ein $q\in \mathbb{Z}$ existiert mit:
            $$ a = b\cdot q$$
            man schreibt auch $b|a$

            \subsubsection{Teilerregeln}
                \begin{enumerate}
                    \item $a|0$ $\forall a\in \mathbb{Z}$
                    \item $a|b \Leftrightarrow a|(-b)$
                    \item $a|b \text{ und } a|c \Rightarrow a|(b+c)$
                \end{enumerate}
        
        \subsection{Kongruenz}
            $a,b\in \mathbb{Z}$ sind \textit{kongruent modulo n}, falls $n\in \mathbb{N}|(a-b)$.
            Man schreibt auch $a\equiv b$