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TeX
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\chapter{Substitionsverfahren}
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\section{Skytale}
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Ein Streifen wird um einen Stock gewickelt und dann beschrieben.
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Nach dem abwickeln erhält man den entsprechenden Code.
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Durch aufwickeln auf einen Stock mit dem gleichen Umfang lässt sich die Nachricht wieder entschlüsseln.\\
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\includegraphics[width=1.0\textwidth]{Skytale.png}\\
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\noindent\textbf{Tipp:}\\
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Zum entschlüsseln der Nachricht am PC ist der Editor mit automatischen Zeilen-Wrap gut geeignet
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\section{Monoalphabetische Substitionsverfahren} \label{monoalphabet}
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Jeder Buchstabe wird bijektiv durch einen anderen Buchstaben des gleichen Alphabets ersetzt.\\
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\begin{tabbing}
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Alphabet: \hspace{35mm}\=$\mathscr{Z} := \{A,B,...,Z\}$\\
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Schlüsselraum: \>$\mathscr{K} := \{k:\mathscr{Z}\rightarrow\mathscr{Z} | k \text{ ist bijektiv}\}$\\
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Verschlüsselung von $z\in \mathscr{Z}$: \>$k(z)$\\
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Entschlüsselung: \> $E(z) := k(z)$
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\end{tabbing}
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\subsection{Caesar-Verschlüsselung}
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Alle Buchstaben des Alphabets werden um einen konstanten Wert verschoben.
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\newline
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\noindent\textbf{Beispiel:}\\
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\noindent\textbf{Code:} $n=2$ \\
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\noindent\textbf{Verschlüsselung:} jeder Buchstabe wird durch den übernächsten Buchstaben im Alphabet ersetzt ($E(m)=(m+3) \mod 26$).\\
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\noindent\textbf{Entschlüsselung:} jeder Buchstabe wird durch den vor-vorherigen Buchstaben ersetzt.
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\subsection{Häufigkeitsanalyse} \label{häufigkeit}
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Monoalphabetische Substitionsverfahren lassen sich mit moderner Technik sehr einfach durch die Verwendung von Häufigkeitsanalysen entschlüsseln.
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In jeder Sprache gibt es Buchstaben die deutlich häufiger vorkommen als andere.
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Durch einer Analyse der Häufigkeit der einzelnen Buchstaben im Geheimtext lassen sich diese den Ausgangsbuchstaben zuordnen.
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\section{Polyalphabetische Substitutionsverfahren}
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Damit sich ein Geheimtext nicht durch eine Häufigkeitsanalyse (\ref{häufigkeit}) entschlüsseln lässt wird bei polyalphabetischen Verschlüsselungsverfahren der Schlüssel regelmäßig gewechselt.
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Hierbei wird der Schlüsselwechsel meist selbst durch ein Schlüsselwort kodiert.
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\subsection{Vignère-Verfahren}
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\begin{tabbing}
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Alphabet: \hspace{35mm}\=$\mathscr{Z} := \{A,B,...,Z\}$\\
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Menge aller Wörter: \>$\mathscr{W} = \mathscr{Z}^{>0} := \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathscr{Z}^n = \{(m_1,m_2,...,m_n)|m_i\in\mathscr{Z},n\in\mathbb{N}\}$\\
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Schlüsselraum: \>$\mathscr{K} := \Sigma_\mathscr{Z} \times \mathscr{W}$
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\end{tabbing}
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Ein Schlüssel $k = (f,w)\in \mathscr{K}$ besteht aus einer Permutation $f\in \Sigma_\mathscr{Z}$ (siehe \ref{monoalphabet}) und einem Schlüsselwort $w$.\\
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Das Vignère-Verfahren ist ein Blockverschlüsselungsverfahren, bei dem jeweils ein Block von Zeichen (im Beispiel 4) nach dem gleichen Verfahren verschlüsselt wird.
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Wenn die Blockgröße klein genug oder die Textlänge groß genug sind lässt sich ein solches Verfahren ebenfalls durch eine Häufigkeitsanalyse (siehe \ref{häufigkeit}) knacken.
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\subsubsection{Verschlüsselung}
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Der Schlüssel $f$ wird zyklisch mithilfe des Schlüsselwortes $w$ verschoben.\\
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\noindent\textbf{Beispiel:}\\
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$f=\text{VEYZNTCWOMFQPRGDXIABHULKJS}$ und $w=\text{SKAT}$\\
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\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Vignère-Verfahren.png}\\
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\subsection{One-Time-Pad}\label{otp}
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Bei dem One-Time-Pad handelt es sich um ein absolut sicheres Substitionsverfahren
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(Nachrichten, bei denen sich Informationen von der Länge der Nachricht ableiten lassen müssen auf eine konstante Länge gebracht werden).
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\subsubsection{Verschlüsselung}
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\begin{tabbing}
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Annahme: \hspace{30mm}\= Klar- und Geheimtext sind eine Folge von Zeichen der Menge $\mathscr{Z} = \mathbb{Z}$ ($n\in\mathbb{N}$)\\
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Klartextnachricht: \>$m=(m_1,m_2,...m_l)\in {\mathbb{Z}_n}^l$\\
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One-Time-Pad (zufällig): \>$k=(k_1,k_2,...k_l)\in {\mathbb{Z}_n}^l$\\
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Geheimtext: \>$E(m) := m+k := (m_1+k_1,m_2+k_2,...,m_l+k_l)$\\
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\end{tabbing}
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\subsubsection{Perfekte Sicherheit}
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Wenn die Zeichen $k_i$ des Schlüssels mit einem perfekten Zufallsgenerator erzeugt lassen sich \textbf{keine} Rückschlüsse auf die Klartextnachricht ziehen (außer Länge).\\
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Allerdings darf ein One-Time-Pad nur ein einziges Mal für die Verschlüsselung verwendet werden.
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Andernfalls könnte durch eine Berechnung der Differenz der mit dem gleichen OTP verschlüsselten Nachrichten Informationen gewonnen werden.
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So kann eine Häufigkeitsanalyse (siehe \ref{häufigkeit}) oder sogar eine komplette Entschlüsselung (falls Klartext einer Nachricht bekannt ist) möglich werden.
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\section{algebraische Substitionsverfahren}
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\subsection{Hill-Verfahren}
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Das Hill-Verfahren ver- und entschlüsselt die Nachrichten mithilfe einer \textbf{invertierbaren} Matrix.
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\subsubsection{Verschlüsselung}
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\begin{tabbing}
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Annahme: \hspace{35mm}\=$n,k\in\mathbb{N}$ sind vorgegeben\\
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Klartextnachricht: \> Menge von Blöcken $\mathscr{B}={\mathbb{Z}_n}^k$\\
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Schlüssel: \> \textbf{invertierbare} ($k,k$)-Matrix $K$\\
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Geheimtext: \> $E_K(b) := K\cdot b$ \hspace{5mm} ($b\in\mathscr{B}$)\\
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\end{tabbing}
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\subsubsection{Entschlüsselung}
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\begin{tabbing}
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Annahme: \hspace{35mm}\= gleiche Bedingungen wie bei der Verschlüsselung \\
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Geheimtextnachricht: \> Menge von Blöcken $\mathscr{C}={\mathbb{Z}_n}^k$\\
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Klartext: \>$E_K(c) := K^{-1}\cdot c$ \hspace{5mm} ($c\in\mathscr{C}$)\\
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\end{tabbing} |