Trees and Forests hinzugefügt. Kapitel 1: Supervised Learning

abgeschlossen.

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 \chapter{Trees and Forests}%
 \label{cha:Trees and Forests}
+\section{\glsxtrfull{CART}}%
+\label{sec:CART}
+
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{.5\textwidth}
+    \vspace*{-10mm}
+    \includegraphics[width = .9\linewidth]{tree_over_underfitting.png}
+\end{wrapfigure}
+
+Ein Binärbaum,
+der mithilfe eines gegebenen Datensatzes erstellt wurde,
+kann sowohl in Regressions"~ als auch in Klassifikationsproblemen zur Approximation genutzt werden.
+Hierbei ist es wichtig,
+die Richtige Anzahl an Datenpunkten für die jeweilige Verästelung zu finden,
+da Bäume,
+die zu weit verästeln die Testdaten overfitten
+und Bäume,
+die nicht weit genug verästeln underfitten.
+\vspace{15mm}
+
+\noindent
+\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
+    \hline
+    \textbf{Advantages} & \textbf{Disadvantages}\\
+    \hline
+    \vspace{1mm}
+    \begin{minipage}{.48 \linewidth}
+        \begin{itemize}[leftmargin=*]
+            \item Applicable to both regression and classification problems
+            \item Handle categorical predictors naturally
+            \item Computationally simple and quick to fit, even for large problems
+            \item No formal distributional assumptions
+            \item Can handle highly non-linear interactions and classification boundaries
+            \item Automatic variable selection
+            \item Very easy to interpret if the tree is small
+        \end{itemize} 
+    \end{minipage} \vspace{1mm}&
+    \vspace{1mm}
+    \begin{minipage}{.48 \linewidth}
+        \begin{itemize}[leftmargin=*]
+            \item Accuracy - current methods, such as NNs, support vector machines and ensemble classifiers often have much lower error rates than CART
+            \item nstability – if we change the data a little, the tree picture can change a lot. So the interpretation is not as straightforward as it appears
+        \end{itemize} 
+    \end{minipage} \vspace{1mm}\\
+    \hline
+\end{tabularx}
+
+\subsection{Splitting Criterion}%
+\label{sub:Splitting Criterion}
+Die Wahl des Wertes,
+an dem der Baum geteilt wird erfolgt abhängig von den Ziel des Baumes
+\subsubsection{Regression}%
+\label{ssub:Regression}
+Um bei der Regression eine Spaltungsgrenze zu finden wird die Spaltung mit dem minimalen \gls{RSS} gesucht
+\begin{equation} \label{eq:RSS}
+    \nomeq{residual_sum_squares} = \sum_{\text{left}}(y_i - \overline{y}_L)^2 + \sum_{\text{right}}(y_i - \overline{y}_R)^2
+\end{equation}
+Hierbei sind $\overline{y}_L$ und $\overline{y}_R$ jeweils der Durchschnittswert der Elemente im linken bzw. rechten Subtree.
+Alternativ kann man die Formel auch mit der Anzahl $N_L$ bzw. $N_R$ und den Varianzen $\nomeq{variance}_L$ bzw. $\nomeq{variance}_R$ der beiden Subtrees aufstellen
+\begin{equation} \label{eq:RSS_with_variance}
+    \nomeq{residual_sum_squares} = N_L\nomeq{variance}_L + N_R\nomeq{variance}_R
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Classification}%
+\label{ssub:Classification}
+Das Ziel bei der Wahl der Spaltungsgrenzen für die Klassifikation ist die Minimierung der Entropie $H$ in den einzelnen Subtrees.
+\begin{equation} \label{eq:classification_splitting_score}
+    \text{score} = N_L H(p_L) + N_R H(p_R)
+\end{equation}
+Hierbei ist die Entropie $H$ ein Maß dafür,
+wie einheitlich ein Split die Klassen trennt.
+\begin{equation} \label{eq:entropy}
+    H(p_L) = -\sum_k p_L(k)\log p_L(k)
+\end{equation}
+In dieser Formel gibt $p_L(k)$ an,
+welchen Anteil die Klasse $k$ auf der linken Seite des Splits hat.
+
+\subsection{Beispiele}%
+\label{sub:Beispiele}
+\subsubsection{Classification Tree}%
+\label{ssub:Classification Tree}
+\includegraphics[width=.6\textwidth]{classification_tree.png}
+{\color{red} Herleitung Vorlesung 03 Seite 24-31}
+
+\subsubsection{Regression Tree}%
+\label{ssub:Regression Tree}
+{
+\begin{wrapfigure}{r}{.7\textwidth}
+    \includegraphics[width=\linewidth]{regression_tree.png}
+\end{wrapfigure}
+Predict (log) prostate specific antigen from
+\begin{itemize}
+    \item Log cancer volum
+    \item Log prostate weight
+\end{itemize}
+}
+\vspace*{30mm}
+{\color{red} Herleitung Vorlesung 03 Seite 32-36}
+
+\section{Random Forests}%
+\label{sec:Random Forests}
+Aufgrund der Nachteile von \glspl{CART} wird bei modernen Tree-Based-Algorithmen meist ein Forest verwendet.
+Hierbei werden mehrere Bäume auf zufällig gewählten Teilmengen des Trainingsdatensatzes trainiert.
+Die Methode der Teilmengenbildung wird als Bagging (Bootstrap Aggregation) bezeichnet.
+Um einen neuen Datenpunkt zu bewerten wird der Durchschnitt der Ausgaben der Trees innerhalb des Forest genommen.
+Hierbei behält der Algorithmus fast alle Vorteile eines einzelnen \gls{CART} (alle in \cref{sec:CART} gelisteten, außer: Very easy to interpret if the tree is small)
+und hat keines der Nachteile.
+In Bezug auf die Accuracy können Random Forests mit allen bekannten Machine Learning Algorithmen (vor \glsxtrshort{DNN}) mithalten
+und sind zudem nicht leicht durch kleine Veränderungen in den Eingabedaten zu beeinflussen.
+
+Diese Art Algorithmus wird unter anderem in der Microsoft Kinect verwendet
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{kinect.png}
+    \caption{Microsoft Kinect Bildverarbeitung}
+    \label{fig:kinect}
+\end{figure}