Lineare Regression beendet.

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@@ -158,8 +158,87 @@ Leitet man diese Formel nun ab, um die Gewichte $\bm{w}^*$ mit den minimalen \no
     \nabla_{\bm{w}}\nomeq{summed_squared_error}(\bm{w}) = \dfrac{\partial}{\partial\bm{w}}\left\{\bm{w}^T\bm{X}^T\bm{Xw} - 2\bm{y}^T\bm{Xw} + \bm{y}^T\bm{y}\right\} 
 \end{equation}
 Durch das Gleichsetzen dieser Funktion mit 0 (Die Ableitung einer quadratischen Funktion am Scheitelpunkt) erhält man:
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:linear_regression_solution}
     \bm{w}^* = (\bm{X}^T\bm{X})^{-1}\bm{X}^T\bm{y}
 \end{equation}
 
-Weiter auf Seite 92
+\section{Generalisierung der linearen Regression}%
+\label{sec:Generalisierung der linearen Regression}
+Die bisher dargestellte Form der linearen Regression ist lediglich dazu in der Lage eine lineare Hyper-Ebene in einem D-dimensionalen Eingaberaum zu errechnen.
+Um die lineare Regression auch in anderen Anwendungen verwenden zu können ist es nötig eine \nomf{vector_valued_function} zu definieren,
+welche dafür sorgen,
+dass auch nicht-lineare Eingabevektoren $\bm{x}$ mithilfe der linearen Regression analysiert werden können.
+Die Ergebnisformel für die lineare Regression bleibt hierbei nahezu gleiche,
+wobei $\bm{X} = \begin{bmatrix} \tilde{\bm{x}}^T_1 \\\vdots\\\tilde{\bm{x}}^T_n \end{bmatrix}$ (siehe \cref{eq:linear_regression_solution}) durch $\bm{\Phi} = \begin{bmatrix} \phi_1^T\\\vdots\\\phi_n^T \end{bmatrix}$ ersetzt wird:
+\begin{equation} \label{eq:generalized_linear_regression}
+    \bm{w}^* = (\bm{\Phi}^T\bm{\Phi})^{-1}\bm{\Phi}^T\bm{y}
+\end{equation}
+Dies ermöglicht es mittels der linearen Regression auch jede nicht-lineare Funktion zu lernen,
+indem eine passende \nomf{vector_valued_function} gefunden wird.
+
+\subsection{Beispiele}%
+\label{sub:Beispiele}
+\subsubsection{Polynomial Curve Fitting}%
+\label{ssub:Polynomial Curve Fitting}
+\begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
+    \vspace*{-20mm}
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/polynomial_curve_fitting.png}
+    \caption{polynomiale Kurvenanpassung}%
+    \label{fig:polynomial_curve_fitting}
+    \vspace*{-30mm}
+\end{wrapfigure}
+Durch die Generalisierung der linearen Regression ist die Kurvenanpassung an eine polynomiale Funktion möglich.
+So lässt sich die lineare Regression für eine Funktion 3. Grades mithilfe von $\nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x\\x^2\\x^3 \end{bmatrix}$ und $\bm{w} = \begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2\\w_3 \end{bmatrix}$errechnen.
+
+\subsubsection{Multiple Linear Regression and Fitting a Quadratic Form}%
+\label{ssub:Multiple Linear Regression}
+Da eine Hyper-Ebene nicht immer eine gute Approximation der Daten darstellt (siehe \cref{fig:plane-linear-regression}),
+ist es oft sinnvoll die Eingabedaten mittels \nomsym{vector_valued_function} umzuwandeln (siehe \cref{fig:quadratic-form-linear-regression}).
+\begin{figure}[H]
+    \begin{subfigure}[t]{.5\textwidth}
+    \includegraphics[width=\textwidth]{images/multiple_linear_regression1.png}
+    \caption{$\bm{w}=\begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2 \end{bmatrix}, \nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x_1\\x_2 \end{bmatrix}$}
+    \label{fig:plane-linear-regression}
+    \end{subfigure}%
+    \begin{subfigure}[t]{.5\textwidth}
+    \includegraphics[width=\textwidth]{images/multiple_linear_regression2.png}
+    \caption{$\bm{w}=\begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2\\w_3\\w_4 \end{bmatrix}, \nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x_1\\x_2\\x_1^2\\x_2^2 \end{bmatrix}$}
+    \label{fig:quadratic-form-linear-regression}
+    \end{subfigure}
+    \caption{Lineare Regression mit 2-dimensionalen Eingangsdaten}%
+    \label{fig:2-d-linear-regression}
+\end{figure}
+
+\section{Regularization}%
+\label{sec:Regularization}
+Bei der Auswertung einer polynomialen Funktion (\cref{ssub:Polynomial Curve Fitting}) muss der Polynomialgrad der \nomf{vector_valued_function} hoch genug gewählt werden,
+damit die lineare Regression kein kleineres Polynom als die echte Grundfunktion verwendet (\gls{underfitting}).
+Allerdings darf der Grad des Polynoms auch nicht so hoch gewählt werden,
+dass die durch lineare Regression erlernte Funktion jeden Trainingsdatenpunkt perfekt abbildet (\gls{overfitting}).
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/polynomial_linear_regression_overfitting.png}
+    \caption{Beispielhaftes Verhältnis für ein Verhältnis vom Grad des Polynoms und \nomsym{summed_squared_error}}%
+    \label{fig:poynomial_linear_regression_overfitting}
+\end{figure}
+Um dies zu verhindern kommt die Regularisierung zum Einsatz.
+Diese verfolgt das Ziel,
+die Gewichte $\bm{w}$ möglichst klein zu halten um ein \gls{overfitting} zu verhindern.
+Hierbei wird die datenabhängige Fehlerfunktion der Gewichte $E_D(\bm{w})$ um einen Regularisierungsterm $\nomeq{regularization_factor} E_W(\bm{w})$ erweitert.
+Hierbei ist \nomsym{regularization_factor} der \noms{regularization_factor},
+welcher meist manuell ausgewählt werden muss.
+
+\subsection{Ridge Regression}%
+\label{sub:Ridge Regression}
+Die Regularisierung des \nomf{summed_squared_error} mithilfe eines quadratischen Regularisierungsterms ergibt folgende Verlustfunktion (Loss-Function):
+\begin{equation} \label{eq:ridge_regression_loss}
+    L_{\text{ridge}} = (\bm{y}-\bm{\Phi w})^T(\bm{y}-\bm{\Phi w}) + \nomeq{regularization_factor}\bm{w}^T\bm{w}
+\end{equation}
+Diese spezielle Regularisierung wird auch als Ridge Regression bezeichnet.
+Die Regressionsgleichung ist hierbei gegeben durch:
+\begin{equation} \label{eq:ridge_regression_solution}
+    \bm{w}^*_{\text{ridge}} = (\bm{\Phi}^T\bm{\Phi} + \nomeq{regularization_factor}\nomeq{identity_matrix})^{-1}\bm{\Phi}^T\bm{y} 
+\end{equation}
+Da die Matrix $(\bm{\Phi}^T\bm{\Phi} + \nomeq{regularization_factor}\nomeq{identity_matrix})$ eine \gls{FRM} ist,
+kann sie leicht invertiert werden.

chapters/Classical_Supervised_Learning/Ridge_Regression.tex

@@ -1,3 +0,0 @@
-\chapter{Ridge Regression}%
-\label{cha:Ridge Regression}
-