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Mathematische Grundlagen in eigenen Teil ausgelagert und bis Seite 114

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paul-loedige 2022-02-10 17:44:56 +01:00
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5
Glossary.tex
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@ -66,7 +66,7 @@
\newcommand{\noms}[1]{\glsentryname{#1}\xspace}
\newcommand{\nomS}[1]{\Glsentryname{#1}\xspace}
%use nomenclature entry (symbol only)
\newcommand{\nomsym}[1]{\texorpdfstring{\glslink{#1}{\boldmath\ensuremath{\glsentrysymbol{#1}}}}{#1}\xspace}
\newcommand{\nomsym}[1]{\texorpdfstring{\glslink{#1}{\ensuremath{\glsentrysymbol{#1}}}}{#1}\xspace}
%use nomenclature entry (use in equation)
\newcommand{\nomeq}[1]{\glslink{#1}{\glsentrysymbol{#1}}}
@ -74,7 +74,8 @@
\newnom{gaussian_noise}{Gausches Rauschen}{\epsilon}{zufällige (normalverteilte) Abweichung}{}
\newnom{vector_valued_function}{vektorwertige Funktion}{\phi(\bm{x})}{vektorwertige Funktion der des Eingangsvektor $\bm{x}$}{}
\newnom{regularization_factor}{Regularisierungsfaktor}{\lambda}{}{}
\newnom{identity_matrix}{Identitätsmatrix}{\bm{I}}{$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$}{}
\newnom{identity_matrix}{Identitätsmatrix}{\bm{I}}{$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$}{}
\newnom{probability_mass_function}{Probability Mass Function}{p(x)}{Wahrscheinlichkeitsdichte-\slash\,Wahrscheinlichkeitsmassefunktion}
\shorthandoff{"}

5
ML_Zusammenfassung.tex
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@ -31,6 +31,11 @@
\part{Einleitung}
\input{chapters/Einleitung.tex}
\part{Mathematische Grundlagen}
\label{part:Mathematische Grundlagen}
\input{chapters/Mathematische_Grundlagen/Lineare_Algebra.tex}
\input{chapters/Mathematische_Grundlagen/Probability_Theory.tex}
\part{Classical Supervised Learning}
\label{part:Classical Supervised Learning}
\input{chapters/Classical_Supervised_Learning/Linear_Regression.tex}

96
chapters/Classical_Supervised_Learning/Linear_Regression.tex
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@ -1,100 +1,6 @@
\chapter{Linear Regression}%
\label{cha:Linear Regression}
Das Ziel von linearer Regression ist es eine Gerade zu finden,
die eine Menge von Eingabedatenpunkten am besten approximiert.
\section{Lineare Algebra}%
\label{sec:Lineare Algebra}
\subsection{Vektoren}%
\label{sec:Vektoren}
\begin{itemize}
\item Alle Vektoren werden \textbf{fett} geschrieben:
$\underbrace{x=1}_{\text{Skalar}},\qquad\underbrace{\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}}_{\text{Vektor}}$
\item ein Vektor $\bm{x}$ ist immer ein Spaltenvektor:
$\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}$
\item ein transponierter Vektor $\bm{x}^T$ ist immer ein Reihenvektor:
$\bm{x}^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$
\item Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar:
$2\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4\\8\end{bmatrix}$
\item Vektoraddition:
$\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\1\\4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\3\\8 \end{bmatrix}$
\item Skalarprodukt $\langle \bm{v},\bm{w}\rangle$ der Vektoren $\bm{v}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}$ und $\bm{w}=\begin{bmatrix} 2\\4\\8 \end{bmatrix}$:
$\langle \bm{v},\bm{w}\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 4\cdot 8 = 42$
\item Länge eines Vektors:
$||\bm{v}|| = \langle \bm{v},\bm{v}\rangle^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2^2 + 4^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{21}$
\end{itemize}
\subsection{Matrizen}%
\label{sec:Matrizen}
\begin{itemize}
\item Matrizen werden \uppercase{groß} und \textbf{fett} geschrieben:
$\bm{X}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&3\\4&7 \end{bmatrix}\qquad\bm{A}=\begin{bmatrix}1&3&5&4\\2&3&7&2 \end{bmatrix}$
\item Mehrere Vektoren können zu einer Matrix zusammengefasst werden.
Hierbei werden die Vektoren meistens zu Zeilen und repräsentieren einen Einzelnen Datensatz:
$$\bm{x}_1 = \begin{bmatrix} 37\\72\\175 \end{bmatrix} \qquad \bm{x}_2 = \begin{bmatrix} 10\\30\\61 \end{bmatrix}\qquad \bm{x}_3 = \begin{bmatrix} 25\\65\\121 \end{bmatrix}\qquad \bm{x}_4 = \begin{bmatrix} 66\\67\\175 \end{bmatrix}$$
$$\bm{X} = \begin{bmatrix} \bm{x}_1^T\\\bm{x}_2^T\\\bm{x}_3^T\\\bm{x}_4^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 37&72&175\\10&30&61\\25&65&121\\66&67&175 \end{bmatrix}$$
\item Multiplikation mit einem Skalar:
$ 3\bm{M} = 3\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 12 & 15\\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
\item Addition von Matrizen:
$ \bm{M} + \bm{N} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 6 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
\item Transponierte Matrizen:
$ \bm{M} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \bm{M}^T = \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 4 & 0\\ 5 & 1 \end{bmatrix}$
\item Matrix-Vektor-Produkt:
$$ \bm{Wv} = \underbrace{\begin{bmatrix} \bm{w}_1 & \cdots & \bm{w}_n \end{bmatrix}}_{\bm{W}}\underbrace{\begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}}_{\bm{v}} = \begin{bmatrix} v_1\bm{w}_1 + \cdots + v_n\bm{w}_n \end{bmatrix} $$
$$ \bm{Wv} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\0\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot1 + 4\cdot0 + 5\cdot2 \\ 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13\\3 \end{bmatrix}$$
\item Matrix-Matrix-Produkt:
$$ \bm{WV} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 3\\2 & 4 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 3\cdot1+4\cdot0+5\cdot2 & 3\cdot0+4\cdot3+5\cdot4\\ 1\cdot1+0\cdot0+1\cdot2 & 1\cdot0+0\cdot3+1\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 32\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
\begin{itemize}
\item Dimensionen: $\underbrace{m\times n}_{\bm{W}}\cdot\underbrace{n\times j}_{\bm{V}} = \underbrace{m\times j}_{\bm{U}}$
\item nicht kommutativ: $\bm{VW} \neq \bm{WV}$
\item Assoziativ: $\bm{V}(\bm{WX}) = (\bm{VW})\bm{X}$
\item Transponiertes Produkt: $(\bm{VW})^T = \bm{W}^T\bm{V}^T$
\end{itemize}
\item Reihen"~ und Spaltendurchschnitt:
$$\bm{X} = \begin{bmatrix} \bm{X}_{1,1} & \cdots & \bm{X}_{1,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \bm{X}_{n,1} & \cdots & \bm{X}_{n,m} \end{bmatrix}$$
\begin{itemize}
\item Vektor von Reihen-Durchschnitten:
$$\begin{bmatrix} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} X_{1,i}\\ \vdots \\ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} X_{n,i} \end{bmatrix} = \bm{X}\begin{bmatrix} \frac{1}{m}\\\vdots\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} = \bm{Xa},
\text{ mit } \bm{a} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m}\\\vdots\\\frac{1}{m} \end{bmatrix}$$
\item Vektor von Spalten-Durchschnitten:
$$ \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i,1} & \cdots & \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i,m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \end{bmatrix}\bm{X} =
\bm{b}^T\bm{X}, \text{ mit }\bm{b} = \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\\\vdots\\\frac{1}{n} \end{bmatrix}$$
\end{itemize}
\item Matrix Inverse:
\begin{itemize}
\item Definition: $\bm{WW}^{-1} = \bm{I},\qquad\bm{W}^{-1}\bm{W} = \bm{I}$
\item Identiätsmatrix $\bm{I} = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$
\item \textbf{nur} quadratische Matrizen können invertiert werden
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{Matrix-Calculus}%
\label{sec:Matrix-Calculus}
\begin{itemize}
\item Die Ableitung einer skalare Funktion, die auf einem Vektor ausgewertet wird ergibt einen Gradientenvektor:
$$\nabla_{\bm{x}}f = \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial \bm{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial x_1} \\\vdots\\ \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial x_d}\end{bmatrix}$$
\item Die Ableitung einer Vektor-Funktion, die auf einem Vektor ausgewertet wird ergibt eine Jacobische Matrix
$$\nabla_{\bm{x}}\bm{f} = \frac{\partial \bm{f}(\bm{x})}{\partial \bm{x}}
= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\bm{x})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_k(\bm{x})}{\partial x_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_1(\bm{x})}{\partial x_d} & \cdots & \frac{\partial f_k(\bm{x})}{\partial x_d}\end{bmatrix}$$
\item die Ableitung einer skalaren Funktion, die auf einer Matrix ausgewertet wird ergibt eine Matrix:
$$\nabla_{\bm{W}}f = \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial \bm{W}}
= \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{1d}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{k1}} & \cdots & \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{kd}}\end{bmatrix}$$
\item die Ableitung einer Vektor-Funktion, die auf einer Matrix ausgewertet wird ergibt einen 3D-Tensor (sehr kompliziert, wird (fast) nie benötigt)
\item Grundlegende Formeln:\\
\begin{tabular}{l c|c|c}
& \bfseries Skalar & \bfseries Vektor & \bfseries Matrix\\
&&&\\
\textbf{Linear} & $\frac{\partial a x}{\partial x} = a$ & $\nabla_{\bm{x}}\bm{Ax} = \bm{A}^T$ & \begin{tabular}{@{}c@{}} $\nabla_{\bm{X}}\bm{a}^T\bm{Xb} = \bm{ab}^T $ \\ $\nabla_{\bm{X}}tr(\bm{AXB}) = \bm{A}^T\bm{B}^T$ \end{tabular}\\
&&&\\
\textbf{Quadratisch} & $\frac{\partial x^2}{\partial x} = 2x$ & $\begin{aligned} \nabla_{\bm{x}}\bm{x}^T\bm{x} &= 2\bm{x} \\ \nabla_{\bm{x}}\bm{x}^T\bm{Ax} &= (\bm{A}^T + \bm{A})\bm{x}\\&=2\bm{Ax}\text{ wenn $A$ symmetrisch ist }\end{aligned}$ &
\end{tabular}
\end{itemize}
\section{Regression}%
\label{sec:Regression}
Das Ziel einer Regression ist es eine kontinuierliche Funktion $y=f(x)+\nomeq{gaussian_noise}$ zu lernen.
Im Falle der linearen Regression bedeutet das,
dass versucht wird eine Gerade zu finden,
@ -113,7 +19,7 @@ Die Regression verfolgt hierbei zumeist das Ziel die Summe oder den Durchschnitt
\nomeq{summed_squared_error} = \sum_{i=1}^{N}(y_i-f(x_i))^2
\end{equation}
\subsection{Regression für d-dimensionale Eingabevektoren}%
\section{Regression für d-dimensionale Eingabevektoren}%
\label{sub:Regression für d-dimensionale Eingabevektoren}
Wenn die Eingangswerte durch einen d-dimensionalen Vektor $\bm{x}$ dargestellt werden,
ergibt sich die folgende Funktion:

90
chapters/Mathematische_Grundlagen/Lineare_Algebra.tex Normal file
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@ -0,0 +1,90 @@
\chapter{Lineare Algebra}%
\label{cha:Lineare Algebra}
\section{Vektoren}%
\label{sec:Vektoren}
\begin{itemize}
\item Alle Vektoren werden \textbf{fett} geschrieben:
$\underbrace{x=1}_{\text{Skalar}},\qquad\underbrace{\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}}_{\text{Vektor}}$
\item ein Vektor $\bm{x}$ ist immer ein Spaltenvektor:
$\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}$
\item ein transponierter Vektor $\bm{x}^T$ ist immer ein Reihenvektor:
$\bm{x}^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$
\item Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar:
$2\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4\\8\end{bmatrix}$
\item Vektoraddition:
$\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\1\\4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\3\\8 \end{bmatrix}$
\item Skalarprodukt $\langle \bm{v},\bm{w}\rangle$ der Vektoren $\bm{v}=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}$ und $\bm{w}=\begin{bmatrix} 2\\4\\8 \end{bmatrix}$:
$\langle \bm{v},\bm{w}\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 4\cdot 8 = 42$
\item Länge eines Vektors:
$||\bm{v}|| = \langle \bm{v},\bm{v}\rangle^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2^2 + 4^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{21}$
\end{itemize}
\section{Matrizen}%
\label{sec:Matrizen}
\begin{itemize}
\item Matrizen werden \uppercase{groß} und \textbf{fett} geschrieben:
$\bm{X}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&3\\4&7 \end{bmatrix}\qquad\bm{A}=\begin{bmatrix}1&3&5&4\\2&3&7&2 \end{bmatrix}$
\item Mehrere Vektoren können zu einer Matrix zusammengefasst werden.
Hierbei werden die Vektoren meistens zu Zeilen und repräsentieren einen Einzelnen Datensatz:
$$\bm{x}_1 = \begin{bmatrix} 37\\72\\175 \end{bmatrix} \qquad \bm{x}_2 = \begin{bmatrix} 10\\30\\61 \end{bmatrix}\qquad \bm{x}_3 = \begin{bmatrix} 25\\65\\121 \end{bmatrix}\qquad \bm{x}_4 = \begin{bmatrix} 66\\67\\175 \end{bmatrix}$$
$$\bm{X} = \begin{bmatrix} \bm{x}_1^T\\\bm{x}_2^T\\\bm{x}_3^T\\\bm{x}_4^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 37&72&175\\10&30&61\\25&65&121\\66&67&175 \end{bmatrix}$$
\item Multiplikation mit einem Skalar:
$ 3\bm{M} = 3\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 12 & 15\\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
\item Addition von Matrizen:
$ \bm{M} + \bm{N} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 6 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
\item Transponierte Matrizen:
$ \bm{M} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \bm{M}^T = \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 4 & 0\\ 5 & 1 \end{bmatrix}$
\item Matrix-Vektor-Produkt:
$$ \bm{Wv} = \underbrace{\begin{bmatrix} \bm{w}_1 & \cdots & \bm{w}_n \end{bmatrix}}_{\bm{W}}\underbrace{\begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}}_{\bm{v}} = \begin{bmatrix} v_1\bm{w}_1 + \cdots + v_n\bm{w}_n \end{bmatrix} $$
$$ \bm{Wv} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\0\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot1 + 4\cdot0 + 5\cdot2 \\ 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13\\3 \end{bmatrix}$$
\item Matrix-Matrix-Produkt:
$$ \bm{WV} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 3\\2 & 4 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 3\cdot1+4\cdot0+5\cdot2 & 3\cdot0+4\cdot3+5\cdot4\\ 1\cdot1+0\cdot0+1\cdot2 & 1\cdot0+0\cdot3+1\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 32\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
\begin{itemize}
\item Dimensionen: $\underbrace{m\times n}_{\bm{W}}\cdot\underbrace{n\times j}_{\bm{V}} = \underbrace{m\times j}_{\bm{U}}$
\item nicht kommutativ: $\bm{VW} \neq \bm{WV}$
\item Assoziativ: $\bm{V}(\bm{WX}) = (\bm{VW})\bm{X}$
\item Transponiertes Produkt: $(\bm{VW})^T = \bm{W}^T\bm{V}^T$
\end{itemize}
\item Reihen"~ und Spaltendurchschnitt:
$$\bm{X} = \begin{bmatrix} \bm{X}_{1,1} & \cdots & \bm{X}_{1,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \bm{X}_{n,1} & \cdots & \bm{X}_{n,m} \end{bmatrix}$$
\begin{itemize}
\item Vektor von Reihen-Durchschnitten:
$$\begin{bmatrix} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} X_{1,i}\\ \vdots \\ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} X_{n,i} \end{bmatrix} = \bm{X}\begin{bmatrix} \frac{1}{m}\\\vdots\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} = \bm{Xa},
\text{ mit } \bm{a} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m}\\\vdots\\\frac{1}{m} \end{bmatrix}$$
\item Vektor von Spalten-Durchschnitten:
$$ \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i,1} & \cdots & \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i,m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \end{bmatrix}\bm{X} =
\bm{b}^T\bm{X}, \text{ mit }\bm{b} = \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\\\vdots\\\frac{1}{n} \end{bmatrix}$$
\end{itemize}
\item Matrix Inverse:
\begin{itemize}
\item Definition: $\bm{WW}^{-1} = \bm{I},\qquad\bm{W}^{-1}\bm{W} = \bm{I}$
\item Identiätsmatrix $\bm{I} = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$
\item \textbf{nur} quadratische Matrizen können invertiert werden
\end{itemize}
\end{itemize}
\section{Matrix-Calculus}%
\label{sec:Matrix-Calculus}
\begin{itemize}
\item Die Ableitung einer skalare Funktion, die auf einem Vektor ausgewertet wird ergibt einen Gradientenvektor:
$$\nabla_{\bm{x}}f = \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial \bm{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial x_1} \\\vdots\\ \frac{\partial f(\bm{x})}{\partial x_d}\end{bmatrix}$$
\item Die Ableitung einer Vektor-Funktion, die auf einem Vektor ausgewertet wird ergibt eine Jacobische Matrix
$$\nabla_{\bm{x}}\bm{f} = \frac{\partial \bm{f}(\bm{x})}{\partial \bm{x}}
= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\bm{x})}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_k(\bm{x})}{\partial x_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_1(\bm{x})}{\partial x_d} & \cdots & \frac{\partial f_k(\bm{x})}{\partial x_d}\end{bmatrix}$$
\item die Ableitung einer skalaren Funktion, die auf einer Matrix ausgewertet wird ergibt eine Matrix:
$$\nabla_{\bm{W}}f = \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial \bm{W}}
= \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{1d}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{k1}} & \cdots & \frac{\partial f(\bm{W})}{\partial W_{kd}}\end{bmatrix}$$
\item die Ableitung einer Vektor-Funktion, die auf einer Matrix ausgewertet wird ergibt einen 3D-Tensor (sehr kompliziert, wird (fast) nie benötigt)
\item Grundlegende Formeln:\\
\begin{tabular}{l c|c|c}
& \bfseries Skalar & \bfseries Vektor & \bfseries Matrix\\
&&&\\
\textbf{Linear} & $\frac{\partial a x}{\partial x} = a$ & $\nabla_{\bm{x}}\bm{Ax} = \bm{A}^T$ & \begin{tabular}{@{}c@{}} $\nabla_{\bm{X}}\bm{a}^T\bm{Xb} = \bm{ab}^T $ \\ $\nabla_{\bm{X}}tr(\bm{AXB}) = \bm{A}^T\bm{B}^T$ \end{tabular}\\
&&&\\
\textbf{Quadratisch} & $\frac{\partial x^2}{\partial x} = 2x$ & $\begin{aligned} \nabla_{\bm{x}}\bm{x}^T\bm{x} &= 2\bm{x} \\ \nabla_{\bm{x}}\bm{x}^T\bm{Ax} &= (\bm{A}^T + \bm{A})\bm{x}\\&=2\bm{Ax}\text{ wenn $A$ symmetrisch ist }\end{aligned}$ &
\end{tabular}
\end{itemize}

61
chapters/Mathematische_Grundlagen/Probability_Theory.tex Normal file
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@ -0,0 +1,61 @@
\chapter{Probability Theory}%
\label{cha:Probability Theory}
Eine Funktion \nomsym{probability_mass_function},
die die Wahrscheinlichkeit angibt,
dass $X$ den Wert $x$ annimmt,
wird als \noms{probability_mass_function} bezeichnet.
Eine gültige \noms{probability_mass_function} muss folgende Eigenschaften erfüllen:
\begin{itemize}
\item weist jedem $x\in X$ einen Wert zu
\item nicht-negativ
\item die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1
\end{itemize}
Zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen können dabei auf verschiedene Arten miteinander zusammenhängen:
\begin{itemize}
\item \textbf{Joint Distribution} $p(x,y)$: Die Wahrscheinlichkeit das $X=x$ und $Y=y$
\item \textbf{Conditional Distribution} $p(x|y)$: Die Wahrscheinlichkeit für $X=x$, wenn $Y=y$ gegeben ist
\end{itemize}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.6\linewidth]{images/conditional_and_joint_distribution.png}
\caption{Conditional and Joint Distribution}
\label{fig:conditional_and_joint_distribution}
\end{figure}
\section{Rules of Probability}%
\label{sec:Rules of Probability}
\paragraph{Summenregel}%
\label{par:Summenregel}
\begin{align} \label{eq:sum_rule}
p(x) &= \sum_y p(x,y)\\
p(x_1) &= \sum_{x_2}\sum_{x_3}\cdots\sum_{x_D} p(x_1,\dots,x_D)
\end{align}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/sum_rule.png}
\caption{Summenregel}
\label{fig:sum_rule}
\end{figure}
\paragraph{Ketten"~\slash\,Produktregel}%
\label{par:Ketten-/Produktregel}
\begin{align}\label{eq:chain_rule}
p(x,y) &= p(x|y)p(y) \\
p(x_1,\dots,x_D) &= p(x_1)p(x_2|x_1)\dots p(x_D|x_1,\dots, x_{D-1})
\end{align}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/chain_rule.png}
\caption{Ketten"~\slash\,Produktregel}
\label{fig:chain_rule}
\end{figure}
\subsection{Bayes Rule}%
\label{sub:Bayes Rule}
Die Regel von Bayes ist eine der wichtigsten Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie und essentiell im Bereich des Maschinellen Lernens.
\begin{equation} \label{eq:Bayes Rule}
p(x|y) = \dfrac{p(y|x)p(x)}{p(y)} = \dfrac{p(y|x)p(x)}{\sum_{x'}p(y|x')p(x')}
\end{equation}
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