\chapter{Linear Regression}%
\label{cha:Linear Regression}

Das Ziel einer Regression ist es eine kontinuierliche Funktion $y=f(x)+\nomeq{gaussian_noise}$ zu lernen.
Im Falle der linearen Regression bedeutet das,
dass versucht wird eine Gerade zu finden,
welche die gegebenen Datenpunkte am besten approximiert:
\begin{equation}\label{eq:linear_regression}
    y = f(x)+\nomeq{gaussian_noise} = w_0 + w_1 x + \nomeq{gaussian_noise}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\linewidth]{./images/linear_regression.png}
    \caption{Beispiel einer linearen Regression}%
    \label{fig:linear_regression}
\end{figure}
Die Regression verfolgt hierbei zumeist das Ziel die Summe oder den Durchschnitt des quadrierten Fehlers (engl. summed\slash\,mean squared error) zu reduzieren:
\begin{equation} \label{eq:SSE}
    \nomeq{summed_squared_error} = \sum_{i=1}^{N}(y_i-f(x_i))^2
\end{equation}

\section{Regression für d-dimensionale Eingabevektoren}%
\label{sub:Regression für d-dimensionale Eingabevektoren}
Wenn die Eingangswerte durch einen d-dimensionalen Vektor $\bm{x}$ dargestellt werden,
ergibt sich die folgende Funktion:
\begin{equation} \label{eq:SSE_d-dimensional}
    \nomeq{summed_squared_error} = \sum_{i=1}^{N}(y_i-f(\bm{x}_i))^2
\end{equation}
Der \nomsym{summed_squared_error} wird verwendet,
da er vollständig differenzierbar und einfach zu optimieren ist,
da \nomsym{summed_squared_error} für lineare Funktionen konvex ist (es gibt nur genau einen Tiefpunkt).

$f(\bm{x}_i)$ definiert sich hierbei durch:
\begin{equation} \label{eq:d-dimensional_linear_function}
    f(\bm{x}_i) = w_0 + \sum_{j}W_j x_{i,j}
\end{equation}
Wodurch sich \nomsym{summed_squared_error} ebenfalls verändert:
\begin{equation} \label{eq:sse_d-dimensional_linear_function}
    \nomeq{summed_squared_error} = \sum_{i=1}^N\left(y_i-\left(w_0 + \sum_j w_j x_{i,j}\right)\right)^2
\end{equation}
Diese Formel lässt sich durch den Einsatz von Matrizen vereinfachen:
\begin{equation} \label{eq:sse_matrix_form}
    \nomeq{summed_squared_error} = \sum_{i}(y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_i e_i^2 = \bm{e}^T\bm{e} = (\bm{y}-\bm{Xw})^T(\bm{y}-\bm{Xw})
\end{equation}
hierbei ist $\hat{y}_i$ die Vorhersage von $y_i$ anhand von $\bm{x_i}$ und den zu lernenden Gewichten $w$:
\begin{align}
    \hat{y}_i &= w_0 + \sum_{j=1}^D w_j x_{i,j} = \tilde{\bm{x}}_i^T\bm{w},\qquad\text{mit }\tilde{\bm{x}}_i = \begin{bmatrix} 1\\\bm{x}_i \end{bmatrix}\text{ und } \bm{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ \vdots\\ w_D \end{bmatrix}\\
    \hat{\bm{y}} &= \begin{bmatrix} \hat{y}_1 \\\vdots\\ \hat{y}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tilde{\bm{x}}_1^T\bm{w} \\\vdots\\ \tilde{\bm{x}}_n^T\bm{w} \end{bmatrix} = \bm{Xw}
\end{align}
zudem ist $\bm{e}$ der Fehlervektor
\begin{equation} \label{eq:error_vecor_sse}
    \bm{e} = \begin{bmatrix} y_1 \\\vdots\\ y_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \hat{y}_1 \\\vdots\\ \hat{y}_n \end{bmatrix} = \bm{y} - \hat{\bm{y}} = \bm{y} - \bm{Xw}
\end{equation}

Stellt man die Formel für den \noms{summed_squared_error} nun in Relation zu den Gewichtsvektor $\bm{w}$ auf, erhält man:
\begin{align}
    \nomeq{summed_squared_error}(\bm{w}) &= (\bm{y}-\bm{Xw})^T(\bm{y} - \bm{Xw})\\
                                         &= \bm{w}^T\bm{X}^T\bm{Xw} - \bm{y}^T\bm{Xw} - \bm{w}^T\bm{X}^T\bm{y} + \bm{y}^T\bm{y}\\
                                         &= \bm{w}^T\bm{X}^T\bm{Xw} - 2\bm{y}^T\bm{Xw} + \bm{y}^T\bm{y}
\end{align}

Leitet man diese Formel nun ab, um die Gewichte $\bm{w}^*$ mit den minimalen \noms{summed_squared_error} zu erhalten ergibt sich:
\begin{equation}
    \nabla_{\bm{w}}\nomeq{summed_squared_error}(\bm{w}) = \dfrac{\partial}{\partial\bm{w}}\left\{\bm{w}^T\bm{X}^T\bm{Xw} - 2\bm{y}^T\bm{Xw} + \bm{y}^T\bm{y}\right\} 
\end{equation}
Durch das Gleichsetzen dieser Funktion mit 0 (Die Ableitung einer quadratischen Funktion am Scheitelpunkt) erhält man:
\begin{equation} \label{eq:linear_regression_solution}
    \bm{w}^* = (\bm{X}^T\bm{X})^{-1}\bm{X}^T\bm{y}
\end{equation}

\section{Generalisierung der linearen Regression}%
\label{sec:Generalisierung der linearen Regression}
Die bisher dargestellte Form der linearen Regression ist lediglich dazu in der Lage eine lineare Hyper-Ebene in einem D-dimensionalen Eingaberaum zu errechnen.
Um die lineare Regression auch in anderen Anwendungen verwenden zu können ist es nötig eine \nomf{vector_valued_function} zu definieren,
welche dafür sorgen,
dass auch nicht-lineare Eingabevektoren $\bm{x}$ mithilfe der linearen Regression analysiert werden können.
Die Ergebnisformel für die lineare Regression bleibt hierbei nahezu gleiche,
wobei $\bm{X} = \begin{bmatrix} \tilde{\bm{x}}^T_1 \\\vdots\\\tilde{\bm{x}}^T_n \end{bmatrix}$ (siehe \cref{eq:linear_regression_solution}) durch $\bm{\Phi} = \begin{bmatrix} \phi_1^T\\\vdots\\\phi_n^T \end{bmatrix}$ ersetzt wird:
\begin{equation} \label{eq:generalized_linear_regression}
    \bm{w}^* = (\bm{\Phi}^T\bm{\Phi})^{-1}\bm{\Phi}^T\bm{y}
\end{equation}
Dies ermöglicht es mittels der linearen Regression auch jede nicht-lineare Funktion zu lernen,
indem eine passende \nomf{vector_valued_function} gefunden wird.

\subsection{Beispiele}%
\label{sub:Beispiele}
\subsubsection{Polynomial Curve Fitting}%
\label{ssub:Polynomial Curve Fitting}
\begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
    \vspace*{-20mm}
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/polynomial_curve_fitting.png}
    \caption{polynomiale Kurvenanpassung}%
    \label{fig:polynomial_curve_fitting}
    \vspace*{-30mm}
\end{wrapfigure}
Durch die Generalisierung der linearen Regression ist die Kurvenanpassung an eine polynomiale Funktion möglich.
So lässt sich die lineare Regression für eine Funktion 3. Grades mithilfe von $\nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x\\x^2\\x^3 \end{bmatrix}$ und $\bm{w} = \begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2\\w_3 \end{bmatrix}$errechnen.

\subsubsection{Multiple Linear Regression and Fitting a Quadratic Form}%
\label{ssub:Multiple Linear Regression}
Da eine Hyper-Ebene nicht immer eine gute Approximation der Daten darstellt (siehe \cref{fig:plane-linear-regression}),
ist es oft sinnvoll die Eingabedaten mittels \nomsym{vector_valued_function} umzuwandeln (siehe \cref{fig:quadratic-form-linear-regression}).
\begin{figure}[H]
    \begin{subfigure}[t]{.5\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/multiple_linear_regression1.png}
    \caption{$\bm{w}=\begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2 \end{bmatrix}, \nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x_1\\x_2 \end{bmatrix}$}
    \label{fig:plane-linear-regression}
    \end{subfigure}%
    \begin{subfigure}[t]{.5\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/multiple_linear_regression2.png}
    \caption{$\bm{w}=\begin{bmatrix} w_0\\w_1\\w_2\\w_3\\w_4 \end{bmatrix}, \nomeq{vector_valued_function} = \begin{bmatrix} 1\\x_1\\x_2\\x_1^2\\x_2^2 \end{bmatrix}$}
    \label{fig:quadratic-form-linear-regression}
    \end{subfigure}
    \caption{Lineare Regression mit 2-dimensionalen Eingangsdaten}%
    \label{fig:2-d-linear-regression}
\end{figure}

\section{Regularization of the Linear Regression}%
\label{sec:Regularization of the Linear Regression}
Bei der Auswertung einer polynomialen Funktion (\cref{ssub:Polynomial Curve Fitting}) muss der Polynomialgrad der \nomf{vector_valued_function} hoch genug gewählt werden,
damit die lineare Regression kein kleineres Polynom als die echte Grundfunktion verwendet (\gls{underfitting}).
Allerdings darf der Grad des Polynoms auch nicht so hoch gewählt werden,
dass die durch lineare Regression erlernte Funktion jeden Trainingsdatenpunkt perfekt abbildet (\gls{overfitting}).
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/polynomial_linear_regression_overfitting.png}
    \caption{Beispielhaftes Verhältnis für ein Verhältnis vom Grad des Polynoms und \nomsym{summed_squared_error}}%
    \label{fig:poynomial_linear_regression_overfitting}
\end{figure}
Um dies zu verhindern kommt die Regularisierung zum Einsatz.
Diese verfolgt das Ziel,
die Gewichte $\bm{w}$ möglichst klein zu halten um ein \gls{overfitting} zu verhindern.
Hierbei wird die datenabhängige Fehlerfunktion der Gewichte $E_D(\bm{w})$ um einen Regularisierungsterm $\nomeq{regularization_factor} E_W(\bm{w})$ erweitert.
Hierbei ist \nomsym{regularization_factor} der \noms{regularization_factor},
welcher meist manuell ausgewählt werden muss.

\subsection{Ridge Regression}%
\label{sub:Ridge Regression}
Die Regularisierung des \nomf{summed_squared_error} mithilfe eines quadratischen Regularisierungsterms ergibt folgende Verlustfunktion (Loss-Function):
\begin{equation} \label{eq:ridge_regression_loss}
    L_{\text{ridge}} = (\bm{y}-\bm{\Phi w})^T(\bm{y}-\bm{\Phi w}) + \nomeq{regularization_factor}\bm{w}^T\bm{w}
\end{equation}
Diese spezielle Regularisierung wird auch als Ridge Regression bezeichnet.
Die Regressionsgleichung ist hierbei gegeben durch:
\begin{equation} \label{eq:ridge_regression_solution}
    \bm{w}^*_{\text{ridge}} = (\bm{\Phi}^T\bm{\Phi} + \nomeq{regularization_factor}\nomeq{identity_matrix})^{-1}\bm{\Phi}^T\bm{y} 
\end{equation}
Da die Matrix $(\bm{\Phi}^T\bm{\Phi} + \nomeq{regularization_factor}\nomeq{identity_matrix})$ eine \gls{FRM} ist,
kann sie leicht invertiert werden.