\chapter[\glsfmtfull{knn}]{\texorpdfstring{\glsxtrfull{knn}}{\glsfmtfull{knn}}}%
\label{cha:k-Nearest Neighbors}
Beim \gls{knn}-Verfahren wird dem System eine Reihe von gelabelten Trainingsdaten übergeben.
Für die Klassifizierung erfolgt durch
\begin{enumerate}
    \item Berechnung des Ähnlichkeitsmaßes (\cref{sec:Distance Metrics})\slash der Distanz zu allen bekannten Punkten
    \item Klassifizierung der Daten durch ein Mehrheitsvotum der $k$ nächsten Nachbarn
\end{enumerate}

{%these brackets force the wrapfigure to behave. No clue why it doesn't do so automatically
\section{Distance Metrics}%
\label{sec:Distance Metrics}
\begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
    \vspace*{-15mm}
    \centering
    \includegraphics[width = .9\linewidth]{manhattan_euclidean_1.pdf}\\
    \vspace*{-7mm}
    \caption{Euclidean and Manhattan Distance}
    \label{fig:euclidean_and_manhattan_distance}
    \vspace*{-3mm}
    \includegraphics[width = .9\linewidth]{cosine1.pdf}\\
    \vspace*{-5mm}
    \caption{Cosine Distance}
    \label{fig:cosine_distance}
\end{wrapfigure}

\paragraph{Euclidean Distance}%
\label{par:Euclidean Distance}
\begin{equation} \label{eq:euclidean_distance}
    d(\bm x,\bm y)) = ||\bm x - \bm y || = \sqrt{\sum^d_{k=1}\left(\bm{x}_k-\bm{y}_k\right)^2}
\end{equation}

\paragraph{Cosine Distance}%
\label{par:Cosine Distance}
\begin{equation} \label{eq:cosine distance}
    d(\bm x,\bm y) = 1 - \frac{\bm x^T \bm y}{||\bm c||\cdot||\bm y||}
\end{equation}

\paragraph{Hamming Distance}%
\label{par:Hamming Distance}
\begin{equation} \label{eq:hamming_distance}
    d(\bm x,\bm y)=\sum^d_{i=k}(\bm x_k\ne\bm y_k)
\end{equation}

\paragraph{Manhattan Distance}%
\label{par:Manhattan Distance}
\begin{equation} \label{eq:manhattan_distance}
    d(\bm x, \bm y)=\sum^d_{k=1}|\bm x_k-\bm y_k|
\end{equation}

\paragraph{Mahalanobis Distance}%
\label{par:Mahalanobis Distance}
berücksichtigt die Richtung, in die die Daten verteilt sind.\\
($\sum^{-1}$ ist die inverse der Kovarianzmatrix)
\begin{equation} \label{eq:mahalanobis_distance}
    d(\bm x,\bm y) = ||\bm x - \bm y||_{\nomeq{covariance}^{-1}}
    = \sqrt{(\bm x - \bm y)^T\nomeq{covariance}^{-1} (\bm x - \bm y)}
\end{equation}
}

\section{Curse of Dimensionality}%
\label{sec:Curse of Dimensionality}
Je mehr Features für jeden einzelnen Datenpunkt gegeben sind,
desto höher ist die Dimensionalität des Features Space.
Allerdings ist es umso schwieriger die \gls{knn} zu finden,
je höher die Dimensionalität ist,
da der Abstand zwischen den Datenpunkten exponentiell mit der Dimensionalität steigt.
Folglich muss es ein Ziel sein,
die relevanten Features zu ermitteln und alle anderen Features aus der Auswertung zu entfernen.

\section{Finding the neighbors: KD-Trees}%
\label{sec:Finding the neighbors: KD-Trees}
\includegraphics[width=.9\textwidth]{KD-Trees1.pdf}\\\\
\includegraphics[width=.9\textwidth]{KD-Trees2.pdf}


