\chapter{Logische Systeme}
\label{logische systeme}
    \paragraph{Signaturen}
        Eine Signatur $\Sigma$ beschreibt eine Menge von Symbolen.
        In der Aussagenlogik ist eine Signatur eine Menge von nullstelligen Aussagenvariablen.

    \paragraph{Formeln}
        Eine Formel stellt eine Verknüpfung von Symbolen dar.
        Jede Signatur hat eine eigene Menge von Formeln, die gelten.

    \paragraph{Interpretation}
        Eine Interpretation $I$ stellt eine Abbildung $I:\Sigma \rightarrow \{\text{wahr, falsch}\}$ der Signatur auf die semantische Ebene der Aussage dar.

    \paragraph{$Int(\Sigma)$}
        Menge aller Interpretationen der Signatur $\Sigma$
    
    \paragraph{$Formel(\Sigma)$}
        Menge aller Formeln der Signatur $\Sigma$

    \paragraph{Wissensbasis $WB$}
        Eine Teilmenge der möglichen Formeln über $\Sigma$
        $$ WB \subseteq Formel(\Sigma)$$

    \paragraph{Modelle}
        Eine Teilmenge der Interpretation, für die eine Formel $F \in Formel(\Sigma)$ wahr ist.
    
    \paragraph{$Mod(F)$}
        Menge aller ($\Sigma$-)Modelle von $F$
        $$Mod(F)\subseteq Int(\Sigma)$$

    \section{Klassifizierung von Formeln}
    \label{formelklassifizierung}
        \begin{tabbing}
            \=\textbf{erfüllbar} \hspace{10mm}\= $Mod(F)\ne\emptyset$\\
            \>\textbf{unerfüllbar} \> $Mod(F) = \emptyset$\\
            \>\textbf{allgemeingültig} \> $Mod(F) = Int(\Sigma)$\\
            \>\textbf{falsifizierbar} \> $Mod(F) \ne Int(\Sigma)$
        \end{tabbing}