\chapter{Lokale Suche}
\label{local search}
    \includegraphics[width = \textwidth]{lokale suche.png}

    \section{Hill Climbing}
    \label{hill climbing}
        Der Hill Climbing Algorithmus ist eine \say{gierige} lokale Suche.
        Es wird an einem beliebigen Punkt gestartet und zu dem jeweils höherwertigen Nachbarn gegangen.
        Wenn kein höherwertiger Nachbar existiert wird der Algorithmus beendet.

        \begin{algorithm}
            \caption{Hill Climbing Algorithm}\label{hill climbing algorithm}
            \begin{algorithmic}[1]
                \Function{Hill-CLIMBING}{problem}{ \textbf{returns} a local maximum state}
                    \State current$\gets$problem.INITIAL
                    \While{true}
                        \State neighbor$\gets$ein höchstwertigster Nachfolger von current
                        \If{Value(neighbor) $\le$ VALUE(current)}
                            \Return current
                        \EndIf
                        \State current$\gets$neighbor
                    \EndWhile
                \EndFunction
            \end{algorithmic}
        \end{algorithm}

        \begin{tabular}{|p{.4625\textwidth}|p{.4625\textwidth}|}
            \hline
            \textbf{Vorteile} & \textbf{Nachteile}\\
            \hline
            \begin{itemize}
                \item schnell und effizient zu einer besseren Lösung
            \end{itemize} & 
            \begin{itemize}
                \item Schaut nicht weiter als zu den direkten Nachbarn,
                    bleibt daher in lokalen Maxima, Plateaus, u.ä. stecken
                \item \textbf{nicht vollständig}
                \item \textbf{nicht optimal}
            \end{itemize}\\
            \hline
        \end{tabular}

        \subsection{Erweiterungen}
        \label{hill climbing: erweiterungen}
            \paragraph{Stochastic Hill Climbing}
                es wird zufällig zu einem der möglichen, hochwertigen Nachbarn weitergegangen
            
            \paragraph{Hill Climbing mit Seitwärtszügen}
                beschränkte Anzahl von Seitwärtszügen um Plateaus zu verlassen.

            \paragraph{Random-Restart Hill Climbing}
                Standard-Verfahren wird mehrmals an zufälligen Startzuständen gestartet.

        \subsection{Beispiel: 8-Damen-Problem}
        \textbf{Problem:} siehe \ref{example: 8-damen-problem}\\
        \label{hill climbing: 8-damen-problem}
            \includegraphics[width = \textwidth]{hill-climbing_8-damen.png}

    \section{Simulated Annealing}
    \label{simulated annealing}
        \begin{wrapfigure}{H}{.4\textwidth}
            \includegraphics[width = .4\textwidth]{simulated_annealing.png}
        \end{wrapfigure}
        \say{Sanfter Übergang von Random Walk zum Hill Climbing}\\
        Die Wahrscheinlichkeit $P(\Delta E, T)=e^{-\Delta E / T}$ der Akzeptanz von Verschlechterungen hängt ab von:
        \begin{itemize}
            \item der Temperatur $T$
            \item der Änderung $\Delta E = \text{zufälliger Nachfolger}-\text{aktueller Zustand}$ in der Zielfunktion
        \end{itemize}
        Falls die Temperatur langsam genug sinkt geht die Wahrscheinlichkeit das globale Optimum zu finden gegen 1.

    \section{Local Beam Search}
    \label{local beam search}
        Greedy Search Verfahren (\ref{hill climbing}), bei dem $k$ optimale Werte gespeichert und gleichzeitig durchlaufen werden.\\
        \includegraphics[width = \textwidth]{beam search.png}

    \section{Genetische Algorithmen}
    \label{genetische algorithmen}
        \includegraphics[width = \textwidth]{genetische algorithmen.png}

