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\chapter{Logische Systeme}
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\label{logische systeme}
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\paragraph{Signaturen}
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Eine Signatur $\Sigma$ beschreibt eine Menge von Symbolen.
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In der Aussagenlogik ist eine Signatur eine Menge von nullstelligen Aussagenvariablen.
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\paragraph{Formeln}
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Eine Formel stellt eine Verknüpfung von Symbolen dar.
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Jede Signatur hat eine eigene Menge von Formeln, die gelten.
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\paragraph{Interpretation}
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Eine Interpretation $I$ stellt eine Abbildung $I:\Sigma \rightarrow \{\text{wahr, falsch}\}$ der Signatur auf die semantische Ebene der Aussage dar.
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\paragraph{$Int(\Sigma)$}
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Menge aller Interpretationen der Signatur $\Sigma$
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\paragraph{$Formel(\Sigma)$}
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Menge aller Formeln der Signatur $\Sigma$
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\paragraph{Wissensbasis $WB$}
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Eine Teilmenge der möglichen Formeln über $\Sigma$
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$$ WB \subseteq Formel(\Sigma)$$
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\paragraph{Modelle}
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Eine Teilmenge der Interpretation, für die eine Formel $F \in Formel(\Sigma)$ wahr ist.
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\paragraph{$Mod(F)$}
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Menge aller ($\Sigma$-)Modelle von $F$
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$$Mod(F)\subseteq Int(\Sigma)$$
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\section{Klassifizierung von Formeln}
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\label{formelklassifizierung}
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\begin{tabbing}
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\=\textbf{erfüllbar} \hspace{20mm}\= $Mod(F)\ne\emptyset$\\
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\>\textbf{unerfüllbar} \> $Mod(F) = \emptyset$\\
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\>\textbf{allgemeingültig} \> $Mod(F) = Int(\Sigma)$\\
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\>\textbf{falsifizierbar} \> $Mod(F) \ne Int(\Sigma)$
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\end{tabbing} |