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\chapter{Beweisverfahren}
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\label{logik: beweisverfahren}
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\section{Logische Folgerung}
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\label{logische folgerung}
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$$\models \subseteq Formel(\Sigma)\times Formel(\Sigma)$$
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$$ F \models G: \text{Aus }F\text{ folgt logisch }G$$
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$$ F \models G \text{ gdw. } Mod(F)\subseteq Mod(G)$$
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\includegraphics[width = .8\textwidth]{folgerung.png}\\
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Hieraus lässt sich ein automatisiertes Beweisverfahren entwickeln, indem überprüft wird, ob in jeder Welt, ind der $F$ war ist auch $G$ war ist.
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\section{Widerspruchsbeweis}
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\label{widerspruchsbeweis}
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$$F\models G \text{ gdw. }F\wedge\neg G \text{ unerfüllbar}$$
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Hieraus lässt sich ein automatisiertes Beweisverfahren aufstellen, indem $\neg G$ zu $F$ hinzugefügt wird und daraus ein Widerspruch abgeleitet wird.
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\section{Inferenz}
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\label{inferenz}
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$$F\models G$$
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Dies ist auf 2 Arten beweisbar:
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Modellüberprüfung:}\\
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Überprüfung, ob in allen Welten, in denen $F$ war ist auch $G$ war ist
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\item \textbf{Theoreme beweisen:}\\
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Abfolge von Beweisschritten (Inferenzregeln(\ref{inferenzregeln})) von $WB$ nach $F$
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\end{enumerate}
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\subsection{Inferenzalgorithmen}
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\label{inferenzalgorithmen}
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\includegraphics[width = \textwidth]{inferenzalgorithmen.png}
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\subsection{Inferenzregeln}
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\label{inferenzregeln}
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\includegraphics[width = .8\textwidth]{inferenzregeln.png}
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\subsection{Beweis durch Resolution}
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\label{beweis durch resolution}
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$$\frac{A\vee B, \neg B\vee C}{A\vee C}$$
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\subsection{Allgemeine Resolutionsregel}
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\label{allgemeine resolutionsregel}
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$$\frac{(A_1\vee \dots \vee A_m\vee B), (\neg B \vee C_1 \vee\dots\vee C_n)}{(A_1\vee\dots\vee A_m\vee C_1\vee\dots\vee C_n)}$$
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\subsection{Klauselform}
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\label{klauselform}
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Die Klauselform ist die Mengendarstellung der \ac{KNF}:\\
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\includegraphics[width = \textwidth]{klauselform.png}
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\subsection{Resolutionsalgorithmus}
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\label{resolutionsalgorithmus}
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\includegraphics[width = .8\textwidth]{resolutionsalgorithmus1.png}\\
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\includegraphics[width = .3\textwidth]{resolutionsalgorithmus2.png}
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\section{Hornklauseln}
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\label{hornklauseln}
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Klauseln in \ac{KNF} lassen sich nach positiven und negativen Literalen sortieren:
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$$ (\neg A_1\vee\dots\vee\neg A_m\vee B_1\vee\dots\vee B_n)$$
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Hieraus ergibt sich durch umformen:
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$$ A_1\wedge\dots\wedge A_m \Rightarrow B_1\vee\dots\vee B_n$$
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Dies ist besonders hilfreich, wenn die Klausel nur ein positives Literal enthält:
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$$ \neg A_1\vee\dots\vee\neg A_m\vee B)$$
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$$A_1\wedge\dots\wedge A_m \Rightarrow B$$
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Diese Klauseln werden als \textbf{Hornklauseln} bezeichnet.
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Der große Vorteil bei der Nutzung von Hornklauseln ist,
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dass die Laufzeit einer Folgerung mit Hornklauseln \textbf{linear} in der Anzahl der Fakten der Wissensbasis ist.
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\subsection{Forward Chaining}
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\label{forward chaining}
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Der Modus Ponens (\ref{inferenzregeln}) ist für Hornklauseln eine vollständige Inferenzregel:
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$$\frac{A_1\wedge\dots\wedge A_m, A_1\wedge\dots\wedge A_m \Rightarrow B}{B}$$
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\includegraphics[width = \textwidth]{forward_chaining.png}
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\subsection{Backward Chaining}
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\label{backward chaining}
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Während das Forward Chaining (\ref{forward chaining}) den einen datengetriebenen Ansatz verfolgt (Bei den Fakten starten und Anfrage herleiten)
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beginnt das Backward Chaining bei der Anfrage und arbeitet die relevanten Teile des Und-Oder-Graphen rückwärts ab.
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Dies hat den Vorteil, das anders als beim Forward Chaining keine potentiell unnötigen Formeln abgeleitet werden.\\
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\includegraphics[width = \textwidth]{backward_chaining.png} |