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chapters/Mathematische Grundlagen/Vektoralgebra.tex

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+\chapter{Vektoralgebra}\label{Vektoralgebra}
+    \begin{itemize}
+        \item Eine Größe, die eine Richtung und einen Betrag besitzt ist ein Vektor (z.B. $\bm{a}$).
+        \item Die Länge des Vektors ist der Betrag ($a=|\bm{a}|$).
+        \item Ein Einheitsvektor $\bm{e}_{\bm{a}}$ ist ein Vektor in Richtung von $\bm{a}$ mit $a=1$:
+            $$\bm{e}_{\bm{a}} =\frac{\bm{a}}{a}$$
+        \item Die Einheitsvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ bilden eine Basis für ein 3-dimensionales Koordinatensystem.\\
+            \includegraphics[width=.4\textwidth]{koordinatensystem.png}
+        \item Alle Vektoren $\bm{a}$ in diesem Koordinatensystem durch eine Linearkombination von $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ aufgestellt werden können.
+            Man spricht hierbei von einer Projektion.\\
+            \includegraphics[width=.8\textwidth]{projektion.png}
+        \item Aufgrund der festgelegten Basis kann für $\bm{a}$ auch $(a_x,a_y,a_z)$ geschrieben werden.
+            Hierdurch ergeben sich auch die Basisvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}=(1,0,0)$, $\bm{e}_{\bm{y}}=(1,0,0)$ und $\bm{e}_{\bm{z}}=(1,0,0)$
+        \item Für die Strecke OP vom Ursprung zu einem Punkt $\text{P}(x,y,z)$ gilt (Ortsvektor):
+            $$ r=(x,y,z) $$
+        \item Betrag des Ortsvektors: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
+        \item Die Verortung von Punkten im Koordinatensystem kann auch über die Winkelbeziehungen erfolgen:\\
+            \includegraphics[width=.6\textwidth]{winkelbeziehungen.png}
+    \end{itemize}
+
+    \section{Skalarprodukt}
+        Das Skalarprodukt ist ein Ergbnis der Multiplikation von zwei Vektoren.
+        Betrachtet man die Multiplikation im Sinne von Komponenten erhält man:\\
+        \includegraphics[width=.6\textwidth]{skalarprodukt.png}\\
+        Geht man hingegen von der Orthonormalbasis aus, erhält man:
+        $$
+            \bm{a}\cdot\bm{b}
+            = (a_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+a_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+a_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}})
+            \cdot((b_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+b_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+b_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}}))
+            = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
+        $$
+        Allgemein: $\bm{ab} = \sum^{N}_{i=1}a_ib_i$\\
+        Desweiteren gibt es noch eine dritte Schreibweise für das Skalarprodukt.
+        Man schreibt $\langle a,b\rangle = \bm{a}^T\bm{b}$.
+        $\bm{a}^T=(a_1,a_2,\dots,a_N)$ ist der transponierte Vektor $\bm{a}$.
+        $$
+            \bm{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{array}\right]
+            \bm{a}^T\bm{b}=(a_1,a_2,\dots,a_N)\cdot\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_N\end{array}\right] =  \sum^N_{i=1}a_ib_i
+        $$
+        Diese Form des Skalarproduktes stellt die Grundlage für die Euklidische Norm $L_2$ dar.
+        $$
+            ||\bm{a}||=\sqrt{\langle a,a\rangle} = \sqrt{\sum^N_{i=1}a_i^2} = |\bm{a}|
+        $$
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