backpropagation hinzugefügt

Readme.md

@@ -6,11 +6,10 @@ Dieses Repo beinhaltet die $\LaTeX$ Informationen für die Zusammenfassung im Fa
   - [x] Nachteile von Accuracy
   - [x] Fokus auf Accuracy, F1, Precision und Recall 
 - [x] $w_0$ bei Perzeptron erklären (siehe Feedback Übung 3.1)
-- [ ] Verlustfunktionen aus KI
-- [ ] Backpropagation Rechenbeispiel (Übung ML_2020_11_16, KI Zusammenfassung, Feedback Übung 3.2)
-  - [ ] Gradientenverfahren aus KI
-  - [ ] inkl. mehrere Schichten (Übung 3.3)
-- [ ] Begründung für Anzahl von Neuronen in der verdeckten Schicht (ML_2020_11_23)
+- [x] Backpropagation Rechenbeispiel (Übung ML_2020_11_16, KI Zusammenfassung, Feedback Übung 3.2)
+  - [x] Gradientenverfahren aus KI
+  - [x] inkl. mehrere Schichten (Übung 3.3)
+- [x] Begründung für Anzahl von Neuronen in der verdeckten Schicht (ML_2020_11_23)
   - [ ] Beispiele aus ML_2020_11_23 (43:00) miteinbeziehen
 - [ ] Perzeptron ist ein Überbegriff (kann aus mehreren Neuronen bestehen)(Besteht aus Input-Gedöns-Output)
 - [ ] Regularisierung

chapters/Supervised Learning/Linear Machines.tex

@@ -83,8 +83,15 @@
             \subsection{Das XOR-Problem}
                 Um das XOR-Problem zu zergliedern werden 2 Diskriminanten benötigt:\\
                 \includegraphics[width=\textwidth]{XOR-Problem1.png}\\
-                Um das XOR-Problem von einer linearen Maschine klassifizieren zu lassen muss diese aus mindestens 2 Schichten bestehen.\\
-                \includegraphics[width=\textwidth]{XOR-Problem2.png}
+                Um das XOR-Problem von einer linearen Maschine klassifizieren zu lassen muss diese aus mindestens 2 Schichten bestehen.
+                \begin{center}
+                    \includegraphics[width=.8\textwidth]{XOR-Problem2.png}
+                \end{center}
+                Allgemein werden mehr Neuronen in der verdeckten Schicht gebraucht, je komplexer die Klassifizierung ist.
+                Hierbei kann sich an der \ac{VC-Dimension} orientiert werden.
+                Dies gibt allerdings nur eine Angabe für die minimale Anzahl an benötigten Neuronen in der verdeckten Schicht.
+                Die genaue Anzahl der verdeckten Schichten und der darin enthaltenen Neuronen müssen vom Entwickler gewählt werden.
+                Hierbei ist die Erfahrung des Entwicklers entscheidend, um ein möglich gutes Modell zu erstellen.
 
     \section{Maximum Margin Approaches}
         Aus \ref{novikoffs theorem} ist bekannt, dass eine Diskriminate erstellt werden kann.
@@ -158,4 +165,76 @@
                 Eine Reduzierung kann entweder dadurch erreicht werden,
                 dass das empirische Risiko (\ref{empirical risk}) bei gleichbleibenden $\varepsilon$ (\ref{capacity term}) reduziert wird,
                 oder durch eine Reduzierung von $\varepsilon$ bei gleichbleibenden empirischen Risiko.
-                Letzteres ist der Ansatz den die \ac{SVM}s (\ref{svm}) verfolgen.
+                Letzteres ist der Ansatz den die \ac{SVM}s (\ref{svm}) verfolgen.
+
+    \section{Parameteroptimierung}
+    \label{knn: parameteroptimierung}
+        Die Parameter werden iterativ so verändert/ optimiert, dass die Fehlerfunktion (Zusammenfassung KI: Fehlerfunktionen) minimal wird.
+
+        \subsection{Gradientenabstieg}
+        \label{knn: gradientenabstieg}
+            Das Gradientenverfahren ist ein Verfahren zur Parameteroptimierung.
+            Die Idee für das Verfahren leitet sich vom Hill-Climbing Algorithmus (Zusammenfassung KI: Hill Climbing) ableitet.
+            Der größte Unterschied liegt darin, dass der Parameterraum nicht diskret sondern kontinuierlich ist.
+            Das bedeutet, das jeder Punkt unendlich viele Nachbarn hat.
+            Durch die Bestimmung des \textbf{Gradienten} kann die Richtung des steilsten Abstiegs angegeben werden:
+            \large
+            $$\Delta g= \begin{bmatrix}
+                \frac{\delta g}{\delta w_1}\\
+                \frac{\delta g}{\delta w_2}\\
+                \vdots\\
+                \frac{\delta g}{\delta w_n}
+            \end{bmatrix}
+            $$
+            \normalsize
+            Zu beginn werden die Gewichte $w$ des Neuronen definiert (zufällig oder anders).
+            Anschließend werden sie bei jeder Iteration über 
+            \large
+            $$w\gets w+\alpha\cdot \Delta g(w)$$
+            \normalsize
+            umdefiniert.
+            Hierbei ist $\alpha$ ein Hyperparamter, der die \textbf{Lernrate} definiert.\\
+            Zu erwähnen ist noch, dass auch hier wie beim Hill-Climbing (Zusammenfassung KI: Hill Climbing) die Gefahr besteht,
+            dass lediglich ein lokales anstatt dem globalen Minimum gefunden wird.
+
+        \subsection{Backpropagation}
+        \label{knn: backpropagation}
+            Da der Fehler, den die Fehlerfunktion angibt auf alle Schichten zurückzuführen ist,
+            muss auch die Optimierung Rückwärtsgerichtet in allen Schichten stattfinden.
+            Man spricht hierbei von einer \say{Backpropagation}.\\
+            Um ein Ausgangsneuron zu updaten muss die Fehlerfunktion
+            $$f(a,t) = \sum_i \frac{1}{2}(a_i-t_i)^2$$
+            erstmal auf den Ausgabewert des jeweiligen Neurons abgeleitet werden:
+            $$\frac{\delta f}{\delta a_i}=a_i-t$$
+            Wenn man dies nun auf die Zustandsfunktion des Neurons ableitet erhält man:
+            $$\frac{\delta f}{\delta z_i} = \frac{\delta f}{\delta a_i}\cdot\frac{\delta a_i}{\delta z_i}$$
+            Um die Änderung für eine Gewichtung $g_{ij}$ zu bestimmen muss die Fehlerfunktion nun zunächst auf dieses $g_{ij}$ abgeleitet werden:
+            $$\frac{\delta f}{\delta g_{ij}} = \frac{\delta f}{\delta z_i} \cdot\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}} = \frac{\delta f}{\delta a_i}\cdot\frac{\delta a_i}{\delta z_i}\cdot\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}}$$
+            Nun kann man durch Einsetzen der verwendeten $f$, $a_i$ und $z_i$ die Formel für die Änderung von $g_{ij}$ aufstellen.\\
+            \textbf{Beispiel:}
+            \Large
+            \begin{tabbing}
+                $f(a,t)=\sum_i\frac{1}{2}(a_i-t_i)^2$\hspace{5mm}\=und\hspace{5mm}\=$\frac{\delta f}{\delta a_i}=a_i-t_i$\\\\
+                $a_i =\frac{1}{a+e^{z_i}}$ \>und \>$\frac{\delta a_i}{\delta z_i}=a_i(1-a_i)$\\\\
+                $z_i=\sum^{N+1}_{j=1}g_{ij}\cdot a_i$ \>und \>$\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}}=a_j$
+            \end{tabbing}
+            \normalsize
+            Hieraus ergibt sich:
+            $$\frac{\delta f}{\delta g_{ij}} = \frac{\delta f}{\delta z_i} \cdot\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}} = \frac{\delta f}{\delta a_i}\cdot\frac{\delta a_i}{\delta z_i}\cdot\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}}=(a_i-t_i)\cdot a_i(1-a_i)\cdot a_j$$
+            Da uns alle diese Werte bekannt sind können wir $g_{ij}$ updaten:
+            \large
+            $$g_{ij}\gets g_{ij} + \alpha\cdot\left((a_i-t_i)\cdot a_i(1-a_i)\cdot a_j\right)$$
+            \normalsize
+            Um die Backpropagation nun bei den anderen Neuronen auf tieferen Schichten anzuwenden muss auf diese abgeleitet werden:\\
+            \begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
+                \vspace{-10mm}
+                \includegraphics[width = .4\textwidth]{backpropagation_inner_layer.png}
+            \end{wrapfigure}
+
+            \begin{align*}
+                \frac{\delta f}{\delta a_i}&=(a_i-t_i)\\
+                \frac{\delta f}{\delta z_i}&=\frac{\delta f}{\delta a_i}\cdot\frac{\delta a_i}{\delta z_i}=a_i(1-a_i)\frac{\delta f}{\delta a_i}\\
+                \frac{\delta f}{\delta g_{ij}}&=\frac{\delta f}{\delta z_i}\cdot\frac{\delta z_i}{\delta g_{ij}} = a_j\frac{\delta f}{\delta z_i}\\
+                \frac{\delta f}{\delta a_j}&=\sum_i\frac{\delta f}{\delta z_i}\cdot\frac{\delta z_i}{\delta a_j}=\sum_i g_{ij}\frac{\delta f}{\delta z_i}
+            \end{align*}
+            Die Summe wird durch die Mehrzahl der Nachfolgenden Neuronen von $B_j$ berursacht.