\chapter{Mathematische Grundlagen}
    In diesem Kapitel sind alle mathematischen Grundlagen zusammengefasst, auf die im Rest der Zusammenfassung zurückgegriffen wird.
    
    \section{Vektoralgebra}\label{Vektoralgebra}
        \begin{itemize}
            \item Eine Größe, die eine Richtung und einen Betrag besitzt ist ein Vektor (z.B. $\bm{a}$).
            \item Die Länge des Vektors ist der Betrag ($a=|\bm{a}|$).
            \item Ein Einheitsvektor $\bm{e}_{\bm{a}}$ ist ein Vektor in Richtung von $\bm{a}$ mit $a=1$:
                $$\bm{e}_{\bm{a}} =\frac{\bm{a}}{a}$$
            \item Die Einheitsvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ bilden eine Basis für ein 3-dimensionales Koordinatensystem.\\
                \includegraphics[width=.4\textwidth]{koordinatensystem.png}
            \item Alle Vektoren $\bm{a}$ in diesem Koordinatensystem durch eine Linearkombination von $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ aufgestellt werden können.
                Man spricht hierbei von einer Projektion.\\
                \includegraphics[width=.8\textwidth]{projektion.png}
            \item Aufgrund der festgelegten Basis kann für $\bm{a}$ auch $(a_x,a_y,a_z)$ geschrieben werden.
                Hierdurch ergeben sich auch die Basisvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}=(1,0,0)$, $\bm{e}_{\bm{y}}=(1,0,0)$ und $\bm{e}_{\bm{z}}=(1,0,0)$
            \item Für die Strecke OP vom Ursprung zu einem Punkt $\text{P}(x,y,z)$ gilt (Ortsvektor):
                $$ r=(x,y,z) $$
            \item Betrag des Ortsvektors: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
            \item Die Verortung von Punkten im Koordinatensystem kann auch über die Winkelbeziehungen erfolgen:\\
                \includegraphics[width=.6\textwidth]{winkelbeziehungen.png}
        \end{itemize}

        \subsection{Skalarprodukt}
            Das Skalarprodukt ist ein Ergbnis der Multiplikation von zwei Vektoren.
            Betrachtet man die Multiplikation im Sinne von Komponenten erhält man:\\
            \includegraphics[width=.6\textwidth]{skalarprodukt.png}\\
            Geht man hingegen von der Orthonormalbasis aus, erhält man:
            $$
                \bm{a}\cdot\bm{b}
                = (a_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+a_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+a_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}})
                \cdot((b_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+b_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+b_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}}))
                = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
            $$
            Allgemein: $\bm{ab} = \sum^{N}_{i=1}a_ib_i$\\
            Desweiteren gibt es noch eine dritte Schreibweise für das Skalarprodukt.
            Man schreibt $\langle a,b\rangle = \bm{a}^T\bm{b}$.
            $\bm{a}^T=(a_1,a_2,\dots,a_N)$ ist der transponierte Vektor $\bm{a}$.
            $$
                \bm{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{array}\right]
                \bm{a}^T\bm{b}=(a_1,a_2,\dots,a_N)\cdot\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_N\end{array}\right] =  \sum^N_{i=1}a_ib_i
            $$
            Diese Form des Skalarproduktes stellt die Grundlage für die Euklidische Norm $L_2$ dar.
            $$
                ||\bm{a}||=\sqrt{\langle a,a\rangle} = \sqrt{\sum^N_{i=1}a_i^2} = |\bm{a}|
            $$

