generated from TH_General/Template_Summary
45 lines
2.8 KiB
TeX
45 lines
2.8 KiB
TeX
\chapter{Vektoralgebra}\label{Vektoralgebra}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Eine Größe, die eine Richtung und einen Betrag besitzt ist ein Vektor (z.B. $\bm{a}$).
|
|
\item Die Länge des Vektors ist der Betrag ($a=|\bm{a}|$).
|
|
\item Ein Einheitsvektor $\bm{e}_{\bm{a}}$ ist ein Vektor in Richtung von $\bm{a}$ mit $a=1$:
|
|
$$\bm{e}_{\bm{a}} =\frac{\bm{a}}{a}$$
|
|
\item Die Einheitsvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ bilden eine Basis für ein 3-dimensionales Koordinatensystem.\\
|
|
\includegraphics[width=.4\textwidth]{koordinatensystem.png}
|
|
\item Alle Vektoren $\bm{a}$ in diesem Koordinatensystem durch eine Linearkombination von $\bm{e}_{\bm{x}}$, $\bm{e}_{\bm{y}}$ und $\bm{e}_{\bm{z}}$ aufgestellt werden können.
|
|
Man spricht hierbei von einer Projektion.\\
|
|
\includegraphics[width=.8\textwidth]{projektion.png}
|
|
\item Aufgrund der festgelegten Basis kann für $\bm{a}$ auch $(a_x,a_y,a_z)$ geschrieben werden.
|
|
Hierdurch ergeben sich auch die Basisvektoren $\bm{e}_{\bm{x}}=(1,0,0)$, $\bm{e}_{\bm{y}}=(1,0,0)$ und $\bm{e}_{\bm{z}}=(1,0,0)$
|
|
\item Für die Strecke OP vom Ursprung zu einem Punkt $\text{P}(x,y,z)$ gilt (Ortsvektor):
|
|
$$ r=(x,y,z) $$
|
|
\item Betrag des Ortsvektors: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
|
|
\item Die Verortung von Punkten im Koordinatensystem kann auch über die Winkelbeziehungen erfolgen:\\
|
|
\includegraphics[width=.6\textwidth]{winkelbeziehungen.png}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\section{Skalarprodukt}
|
|
Das Skalarprodukt ist ein Ergbnis der Multiplikation von zwei Vektoren.
|
|
Betrachtet man die Multiplikation im Sinne von Komponenten erhält man:\\
|
|
\includegraphics[width=.6\textwidth]{skalarprodukt.png}\\
|
|
Geht man hingegen von der Orthonormalbasis aus, erhält man:
|
|
$$
|
|
\bm{a}\cdot\bm{b}
|
|
= (a_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+a_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+a_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}})
|
|
\cdot((b_x\cdot\bm{e}_{\bm{x}}+b_y\cdot\bm{e}_{\bm{y}}+b_z\cdot\bm{e}_{\bm{z}}))
|
|
= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
|
|
$$
|
|
Allgemein: $\bm{ab} = \sum^{N}_{i=1}a_ib_i$\\
|
|
Desweiteren gibt es noch eine dritte Schreibweise für das Skalarprodukt.
|
|
Man schreibt $\langle a,b\rangle = \bm{a}^T\bm{b}$.
|
|
$\bm{a}^T=(a_1,a_2,\dots,a_N)$ ist der transponierte Vektor $\bm{a}$.
|
|
$$
|
|
\bm{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{array}\right]
|
|
\bm{a}^T\bm{b}=(a_1,a_2,\dots,a_N)\cdot\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_N\end{array}\right] = \sum^N_{i=1}a_ib_i
|
|
$$
|
|
Diese Form des Skalarproduktes stellt die Grundlage für die Euklidische Norm $L_2$ dar.
|
|
$$
|
|
||\bm{a}||=\sqrt{\langle a,a\rangle} = \sqrt{\sum^N_{i=1}a_i^2} = |\bm{a}|
|
|
$$
|
|
|