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\chapter{\acf{FPC}}
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\label{fuzzy-pattern-classifier}
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Der \ac{FPC} wird allgemein als $h(\bm{m},\bm{p})$angegeben.
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\paragraph{Beispiel:}\mbox{}\\
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\includegraphics[width = .6\textwidth]{fpc_closed.png}\\
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Der \ac{FPC} besteht aus mehreren Bestandteilen:\\
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\includegraphics[width = .8\textwidth]{fpc_open.png}
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\section{\acf{FPC} membership function}
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\label{fpc membership function}
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Allgmein geht es bei den \acp{FPC} darum Zugehörigkeitsfunktionen aus der Fuzzy Logic zu berechnen und die Ergebnisse zu aggregieren.
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Dies wird dazu genutzt eine Klassifikation aufzubauen, die viele Merkmale miteinbezieht.
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Die \ac{FPC} membership function stellt eine Abbildung $\mu(m,\bm{p})\rightarrow I$ auf die Identität $I\in \{0,1\}$ dar:
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$$ \mu(m,\bm{p}) = \frac{A}{1+d(m,\bm{p})}(\Rightarrow A \in I) \text{ mit } d(m,\bm{p}) = \left(\frac{|m-S|}{C}\right)^D$$
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\begin{itemize}
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\item $\bm{p} = (S,C,D)$:\\
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der Parameter-Vektor, der die Eigenschaften der der membership function festlegt
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\begin{itemize}
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\item $S$: der Durchschnittswert
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\item $C$: die Breite
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\item $D$: die Flankensteilheit
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\end{itemize}
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\item $d(m,\bm{p})$:\\
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der Abstand von einem Feature-Wert $m$ von dem Durchschnittswert $S$
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\item $A$:\\
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der größte Wert der membership function
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\end{itemize}
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\includegraphics[width = \textwidth]{fuzzy-pattern-classifier.png}\\
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Die einzelnen Parameter werden jeweils vorgegeben oder angelernt.
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Die Form der Funktion wird dabei immer an den jeweiligen Einsatzzweck angepasst.\\
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\includegraphics[width = \textwidth]{parameterized_fpc.png}
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Auch eine mehrdimensionale Implementierung oder die Implementierung von parallel laufenden Funktionen ist möglich:\\
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\includegraphics[width = \textwidth]{fpc_variants.png}
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\subsection{\acf{MFPC} membership function}
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\label{mfpc membership function}
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\acp{MFPC} sind hardware-optimierte Varianten von \ac{FPC}.
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Da zum Zeitpunkt der Entwicklung der \ac{FPC} membership funciton (\ref{fpc membership function}) war diese aufgrund der Division nicht für die Hardware-Implementation geeignet.
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Die zugehörige membership function ist definiert durch:
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$$\mu_\text{MFPC}(m,\bm{p}) = 2^{-d(m,\bm{p})}\in I \text{ mit } d(m,\bm{p}) = \left(\frac{|m-S|}{C}\right)^D$$
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Diese Funktion ist sehr effizient in Hardware implementierbar.
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\acp{MFPC} wurden dafür entworfen Pattern Recognition (\ref{information and pattern regocgnition}) Systeme auf \acp{FPGA} zu verwenden.
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\subsection{Bestimmung der Parameter}
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\label{fpc: parameterbestimmung}
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\begin{itemize}
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\item Distanzfunktion $d_i$ für jedes Feature $m_i$:
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$$d_i(m_i;\bm{p})\left(\frac{|m_i-S_i}{C_i}\right)^D_i$$
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\item Durchschnittswert $S$:
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$$S_i = \frac{1}{N}\sum^{N-1}_{j=0}m_j$$
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oder für kompakte Datensätze:
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$$S_i = \frac{1}{2}\cdot \left(\max(m_i)+\min(m_i)\right)$$
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\item Breite $C$ kann durch anlernen ermittelt werden:
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$$C_i = \frac{1}{2}\cdot\left[\max(m_i)-\min(m_i)\right]+C_{E,i}$$
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$C_{E,i}$ ist definiert als $C_{E,i}=p_{C_e}\cdot\left[\max(m_i)-\min(m_i)\right]$.
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Hieraus ergibt sich dann für $C_i$:
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$$C_i(1+2p_{C_e})\cdot \frac{1}{2}\left[\max(m_i)-\min(m_i)\right]$$
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$p_{C_e}$ ist ein Controll-Parameter (in der Praxis meist $\approx5\%$)
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\item Flankensteilheit $D$ wird empirisch festgelegt ($D=2\vee4\vee8$) oder mit dem \say{Petker, Mönks}-Ansatz erlent
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\end{itemize}
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\section{Defuzzifizierung}
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\label{defuzzification}
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Die Rückgabewerte des \ac{FPC} werden anhand eines Schwellwertes $B$ defuzzifiziert.
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Hierdurch findet dann die eindeutige Klassifizierung statt.
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$$c=\begin{cases}
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1, &\mu(\bm{m};\bm{p})\ge B\\
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0, &\mu(\bm{m};\bm{p})< B
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\end{cases}
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$$
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\section{Aggregationsoperator $h$}
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\label{fpc: aggregationsopperator}
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Um die Ergebnisse der membership functions (\ref{fpc membership function}) der einzelnen Features zusammenzufassen wird ein Aggregationsoperator $h$ verwendet.
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Hierfür werden meist \say{fuzzy averaging operators} verwendet.
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Diese liegen frei zwischen einem harten \textbf{AND}-Operator und einem harten \textbf{OR}-Operator.
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Man misst jeweils die \say{orness} bzw. \say{andness} des Operators.\\
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\includegraphics[width = .8\textwidth]{fuzzy_averaging_operator.png}
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Die geometrische Mitte liegt hierbei bei $\approx0.666$ andness.
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\subsection{Axiome}
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\label{fpc: aggregation axioms}
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Um zu zeigen, dass die Leistungsfähigkeit für eine \ac{MFPC} aggregating fuzzy membership function ausreichend ist müssen folgende Axiome erfüllt sein:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Axiom H 1.} Monotonicity:\\
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Das Verhältnis von zwei Eingangsparameter-Mengen soll sich in der Ausgabe des Aggregationsoperators wiederspiegeln.
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D.h. für die Parameter-Tupel $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ und $(b_1,b_2,\dots,b_n)$ ($a_i,b_i\in I \forall i\in \mathbb{N}_n)$) soll für
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$a_i\le b_i\forall i\in \mathbb{N}_n$ gelten:
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$$h(a_1,a_2,\dots,a_n)\le h(b_1,b_2,\dots,b_n)$$
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\item \textbf{Axion H 2.} Continuity:\\
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Eine kleine Änderung der Eingangsparameter soll auch nur zu einer kleinen Änderung des Ergebnisses der Aggregationsoperation führen
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$$\lim_{\epsilon\rightarrow0} h (a_1,\dots,a_i + \epsilon, \dots,a_n) = h(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)$$
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\item \textbf{Axiom H 3.} Symmetry:\\
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Das Ergebnis des Aggregationsoperators bleibt für jede Permutation $p$ auf $\mathbb{N}_n = \{1,\dots n\}$ gleich:
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$$h(a_1,a_2,\dots,a_n) = h(a_{p(1)},a_{p(2)},\dots,a_{p(n)})$$
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\item \textbf{Axiom H 4.} Idempotency:\\
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Wenn $a_i = a \forall i \in \mathbb{N}_n$, dann
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$$ h(a_1,a_2,\dots,a_n) = a$$
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\end{itemize}
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\subsection{\ac{MFPC} aggregate membership function}
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\label{mfpc: aggregate membership function}
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Der Aggregationsoperator für die \acp{MFPC} ist definiert durch:
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\Large
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$$\mu(\bm{m},\bm{p}) = 2 ^ {-\frac{1}{M}\sum^M_{i=1}\left(\frac{|m_i-S_i|}{C_i}\right)^{D_i}} = \left[\prod^M_{i=1} 2^{-\left(\frac{|m_i-S_i|}{C_i}\right)^{D_i}}\right]^{\frac{1}{M}}$$
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\normalsize
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Hierbei ist der geometrische Mittelpunkt definiert durch:
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\Large
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$$\mu(\bm{m};\bm{p})= 2^{-\frac{1}{M}\sum^{M-1}_{i=0} d(m_i;\bm{p})}$$
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\normalsize
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Diese Aggregationsoperation erfüllt alle nötigen Axiome (\ref{fpc: aggregation axioms}) (Beweis: siehe Vorlesung).
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\section{Asymmetrischer Ansatz}
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In der Praxis wird neben dem normalen (symmetrischen) Ansatz auch der asymmetrische Ansatz verwendet.\\
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\includegraphics[width =\textwidth]{fpc_asymmetric_aproach.png}
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\section{Anwendungsbeispiel: Banknotenüberprüfung}
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\includegraphics[width = \textwidth]{fpc_example.png} |