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@@ -18,13 +18,24 @@
                 \end{aligned}
             \end{equation}
 
-        \subsection{Inverse bezüglich der Addition}
-            jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses:
-            $$ -a := 
-            \begin{cases}
-                0   &\text{für }a=0 \\
-                n-a &\text{sonst}
-            \end{cases}$$
+            \subsubsection{Inverse bezüglich der Addition}
+                jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses:
+                $$ -a := 
+                \begin{cases}
+                    0   &\text{für }a=0 \\
+                    n-a &\text{sonst}
+                \end{cases}$$
+
+            \subsubsection{Inverse bezüglich der Multiplikation}
+                ein Element $a\in \mathbb{Z}_n$ ist \textit{(multiplikativ) invertierbar}, falls es ein Element $b\in \mathbb{Z}_n$ gibt, für das gilt:
+                $$a\cdot b = 1$$
+                man schreibt auch:
+                $$a^{-1}:=b$$
+
+                Die Menge der invertierbaren Elemente in $\mathbb{Z}_n$ wird als $\mathbb{Z}_n^*$ bezeichnet:
+                $$\mathbb{Z}_n^* = \{a\in\mathbb{Z}_n\mid a\cdot b=1 \text{ für ein }b\in\mathbb{Z}n\}$$
+                Zudem gilt, dass ein Element nur dann invertierbar ist, falls $ggT(a,n)=1$:
+                $$\mathbb{Z}_n^* = \{a\in\mathbb{Z}_n\mid ggT(a,n)=1\}$$
         
         \subsection{Subtraktion}    
             Eine Subtraktion entspricht einer Addition mit der Inverse:
@@ -44,4 +55,87 @@
         
         \subsection{Kongruenz}
             $a,b\in \mathbb{Z}$ sind \textit{kongruent modulo n}, falls $n\in \mathbb{N}|(a-b)$.
-            Man schreibt auch $a\equiv b$
+            Man schreibt auch $a\equiv b$
+        
+        \subsection{Matrizen}
+            \subsubsection{Determinantenberechnung}
+                Die Determinante $\det(A)$ der ($N,N$)-Matrix $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le N}$ (mit ganzzahligen Einträgen) über $\mathbb{Z}_n$ wird definiert durch:
+                $$\det(A) \mod n = det((a_{i,j} \mod n)_{1\le i,j\le N})$$
+                Zudem gilt für die Matrizen $A=(a_{ij})_{1\le i,j \le N}$ und $B=(b_{ij})_{1\le i,j \le N}$ (mit ganzzahligen Einträgen):
+                $$\begin{aligned}
+                   \det(A\cdot B) \mod n &= (det(A)\cdot \det(B)) \mod n \\
+                   &= ((\det(A) \mod n)\cdot(\det(B) \mod n)) \mod n\\
+                   &= (\det(A) \mod n)\cdot_{\mathbb{Z}_n}(\det(B) \mod n) 
+                \end{aligned}$$
+            
+            \subsubsection{Inverse Matrix}
+                Die Inverse einer quadratischen Matrix $A$ über $\mathbb{Z}_n$ lässt sich mithilfe der Adjunkten berechnen:
+                $$A^{-1} = (\det(A))^{-1} \cdot adj(A)$$
+                Die Adjunkte lässt sich über $\mathbb{Z}_n$ berechnen, da lediglich Summen und Differenzen von Produkten berechnet werden müssen.
+    
+    \section{Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus}
+        Der Euklid'sche Algorithmus ist ein sehr effizienter Weg den ggT zweier Zahlen zu ermitteln.
+        Der Euklid'sche Algorithmus lässt sich auch über $\mathbb{Z}_n$ verwenden.
+        Man spricht dann von dem erweiterten Euklid'schen Algorithmus.
+
+        \subsection{Euklid'scher Algorithmus}
+            gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{Z}$
+            \begin{enumerate}
+                \item $a:=a_0$ und $b:=b_0$
+                \item falls $b=0$ gebe $|a|$ aus und beende
+                \item $r:=a \mod b$
+                \item $a:=b$
+                \item $b:=r$
+                \item goto 2.
+            \end{enumerate}
+        
+        \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}
+            gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{N}_0$\\
+            gesucht: $\alpha\cdot a_0+\beta \cdot b_0 = g = ggT(a_0,b_0)$
+            \begin{enumerate}
+                \item $a:=a_0$, $\alpha_a=1$, $\beta_b=0$, $b := b_0$, $\alpha_b := 0$, $\beta_b:=1$
+                \item falls $b=0$ gebe $g:=a$, $\alpha:=\alpha_a$ und $\beta:=\beta_a$ aus
+                \item $q:=a/_\mathbb{Z} b$
+                \item $r:=a-q\cdot b$,$\alpha_r := \alpha_a-q\cdot \alpha_b$, $\beta_r := \beta_a-q\cdot \beta_b$
+                \item $a:=b$, $\alpha_a:=\alpha_b$, $\beta_a := \beta_b$
+                \item $b:=r$, $\alpha_b :=\alpha_r$ $\beta_b :=  \beta_r$
+                \item goto 2.
+            \end{enumerate}
+
+            \subsubsection{Beispiel}
+                Eingabe: $$a_0 = 1224\text{ und } b_0 = 156 $$
+
+                Berechnung:\\
+                \begin{center}
+                \begin{tabular}{c|c|c|c}
+                   1224 & 156 & a,b & q\\
+                   \hline
+                   1 & 0 & 1224 \\
+                   0 & 1 & 156 & 7\\
+                   1 & -7 & 132 & 1\\
+                   -1 & 8 & 24 & 5\\
+                   6 & -47 & 12 & 2 \\
+                    & & 0\\ 
+                \end{tabular}\\
+                \end{center}
+
+                Ergebnis: $$6\cdot 1224 + (-47)\cdot 156 = 12$$
+    
+    \section{Euler'sche $\varphi$-Funktion}
+        Die Euler'sche $\varphi$-Funktion bezeichnet die Anzahl invertierbarer Elemente in $\mathbb{Z}_n$
+        $$\varphi(n):=\begin{cases}
+            |\mathbb{Z}_n^*|    &\text{für } n\in\mathbb{N},n\ge 2\\
+            1   &\text{für } n = 1
+        \end{cases}$$
+
+        Für $a,b\in\mathbb{N}$ mit $ggT(a,b)=1$ gilt:
+        $$\varphi(a\cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$$
+
+        Zudem gilt für ein $n\in\mathbb{N}$ dessen Primzahlzerlegung $n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$:
+        $$\varphi(n) = n\cdot \prod_{i=1}^r \big( 1-\frac{a}{p_i} \big)$$
+
+        \subsection{$\varphi$-Funktion und Primzahlen}
+            für eine Primzahl $p$ gilt:
+            $$\varphi(p)=p-1$$
+            Für Primzahlpotenzen gilt zudem:
+            $$\varphi(p^e)=p^{e-1}(p-1)$$