first part of modulare arithmetik finished

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+\chapter{Modulare Arithmetik}
+    \section{Exkurs: Division mit Rest}
+        Für $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$ gibt es eindeutig bestimmte Element $q,r\in\mathbb{Z},0\le r<|b|$:
+        $$\begin{aligned}
+            a =b\cdot q+r\\
+            a /_\mathbb{Z} b :&= q \\
+            a\mod b :&= r \\
+        \end{aligned}$$
+
+    \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}
+        Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$
+
+        \subsection{Addition und Multiplikation}
+            \begin{equation}
+                \begin{aligned}
+                    a +_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a+b) \mod n\\
+                    a \cdot_{\mathbb{Z}_n} b :&= (a\cdot b) \mod n\\
+                \end{aligned}
+            \end{equation}
+
+        \subsection{Inverse bezüglich der Addition}
+            jedes $a\in \mathbb{Z}$ hat ein Inverses:
+            $$ -a := 
+            \begin{cases}
+                0   &\text{für }a=0 \\
+                n-a &\text{sonst}
+            \end{cases}$$
+        
+        \subsection{Subtraktion}    
+            Eine Subtraktion entspricht einer Addition mit der Inverse:
+            $$a-_{\mathbb{Z}_n}b := a+_{\mathbb{Z}_n}(-b) \mod n$$
+        
+        \subsection{Teiler, Vielfache}
+            $b\in \mathbb{Z}$ teilt $a\in \mathbb{Z}$ falls ein $q\in \mathbb{Z}$ existiert mit:
+            $$ a = b\cdot q$$
+            man schreibt auch $b|a$
+
+            \subsubsection{Teilerregeln}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $a|0$ $\forall a\in \mathbb{Z}$
+                    \item $a|b \Leftrightarrow a|(-b)$
+                    \item $a|b \text{ und } a|c \Rightarrow a|(b+c)$
+                \end{enumerate}
+        
+        \subsection{Kongruenz}
+            $a,b\in \mathbb{Z}$ sind \textit{kongruent modulo n}, falls $n\in \mathbb{N}|(a-b)$.
+            Man schreibt auch $a\equiv b$