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\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper}
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$\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}_p$ ($p$ ist eine Primzahl) ist ein Körper.
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Zudem können Körper auch für beliebige Primzahlpotenzen $p^n$ mit $n\in\mathbb{N},n>0$ mithilfe der Polynome aus $\mathbb{F}_p$ vom Grad $<n$ konstruiert werden:
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$$\begin{aligned}
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\mathbb{F}_{p^n}:=&\{a(x)\mid a(x)\in\mathbb{F}_p[x],\text{grad}(a(x))<n\}\\
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=&\{a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\mid a_i\in\mathbb{F}_p\}
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\end{aligned}$$
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Die normale Polynomaddition stellt bereits eine Addition in $\mathbb{F}_{p^n}$ dar.
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Die normale Polynommultiplikation ist allerdings in $\mathbb{F}_{p^n}$ nicht abgeschlossen.
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Das heißt es gibt häufig Produkte mit Polynomen vom Grad $>n$.
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Hierbei lässt sich allerdings analog zu $\mathbb{Z}$ (siehe \ref{Der Ring Z}) durch eine Polynomdivision mit Rest durch $p(x)$ ein Wert in $\mathbb{F}_{p^n}$ erzeugen.
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\section{Polynomdivision mit Rest}
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Ist $\mathbb{F}$ ein Körper und $a(x),b(x)\in\mathbb{F}[x],b(x)\ne0$, so gibt es eindeutig bestimmte Polynome $q(x),r(x)\in\mathbb{F}$ mit:
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$$a(x)=b(x)\cdot q(x)+r(x)\text{ und } 0\le\text{grad}(r(x))<\text{grad}(b(x))$$
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Alternativ wird für den Rest $r(x)$ auch \say{$a(x) \mod b(x)=r(x)$} geschrieben.
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\section{Berechnung der Inversen}
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Der größte gemeinsame Teiler (das Polynom mit den höchsten Grad, dass $a(x)$ und $b(x)$ teilt) kann mithilfe des Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{euklid}) berechnet werden.
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Ist $\mathbb{F}_{p^n}$ bezüglich eines irreduziblen Polynoms $p(x)$ definiert,
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lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
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\section{$\mathbb{F}_2$}
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\subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
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\begin{itemize}
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\item Polynome von Grad 1 (lineare Polynome) sind immer irreduziblen.
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Für $\mathbb{F}_2$ sind dies:
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$$\begin{aligned}
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p_{1,1}(x)=&x\\
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p_{1,2}(x)=&x+1
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\end{aligned}$$
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\item Es gibt in $\mathbb{F}_2$ 4 paarweise verschiedene Polynome von Grad 2.
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3 davon haben eine Nullstelle und lassen sích daher in Linearfaktoren zerlegen.
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Das einzige irreduzible Polynom von Grad 2 ist:
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$$p_2(x)=x^2+x+1$$
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\item Ein Polynom von Grad 3 ist genau dann irreduzible, falls $p(x)$ keine Nullstellen hat.
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Dies trifft für die folgenden zwei Polynome zu:
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$$\begin{aligned}
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p_{3,1}(x)=&x^3+x+1\\
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p_{3,2}(x)=&x^3+x^2+1\\
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\end{aligned}$$
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\item Ein Polynom von Grad 4 ist genau dann irreduzible, wenn $p(x)$ keine Nullstelle hat und auch nicht das Quadrat von $p_2(x)$ ($x^4+x^2+1$) ist:
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$$\begin{aligned}
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p_{4,1}(x)=&x^4+x+1\\
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p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\
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p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
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\end{aligned}$$
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\end{itemize} |