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Paul Lödige
parent
23f91641ed
commit
41f76bf241
@ -27,6 +27,7 @@
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.1}Exkurs: Division mit Rest}{6}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.2}Der Ring $\mathbb {Z}_n$}{6}\protected@file@percent }
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\newlabel{Der Ring Z}{{2.2}{6}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Addition und Multiplikation}{6}\protected@file@percent }
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\newlabel{modulare_addition}{{2.2.1}{6}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1.1}Inverse bezüglich der Addition}{6}\protected@file@percent }
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@ -40,7 +41,9 @@
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5.2}Inverse Matrix}{7}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.3}Der erweiterte Euklid'sche Algorithmus}{7}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Euklid'scher Algorithmus}{8}\protected@file@percent }
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\newlabel{euklid}{{2.3.1}{8}}
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\newlabel{erweiterter Euklid}{{2.3.2}{8}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.3.2.1}Beispiel}{8}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.4}Euler'sche $\varphi $-Funktion}{9}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}$\varphi $-Funktion und Primzahlen}{9}\protected@file@percent }
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@ -127,3 +130,7 @@
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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\newlabel{endliche Körper}{{7}{31}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.1}Polynomdivision mit Rest}{31}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent }
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@ -1,7 +1,7 @@
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# Fdb version 3
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["pdflatex"] 1600272631 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600272632
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["pdflatex"] 1600286191 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600286193
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"./images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c ""
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"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 ""
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"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 ""
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"/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc" 1591545468 2900 1537cc8184ad1792082cd229ecc269f4 ""
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@ -34,6 +34,7 @@
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"/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx7.tfm" 1591545468 1336 3125ccb448c1a09074e3aa4a9832f130 ""
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"/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx8.tfm" 1591545468 1332 1fde11373e221473104d6cc5993f046e ""
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"/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmex10.tfm" 1591545468 992 662f679a0b3d2d53c1b94050fdaa3f50 ""
|
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"/usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmmi10.tfm" 1591545468 1528 abec98dbc43e172678c11b3b9031252a ""
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@ -124,13 +125,13 @@
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"/usr/share/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1591545468 33301 a3134070eacafb10b1f371612ce2650d ""
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"/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1599679088 336293 c5f06245634c6948183f249094ec0495 ""
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"/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1599679062 2514046 697126967b119c0aab990fe8008da9f2 ""
|
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"Zusammenfassung_DC.aux" 1600272632 12494 4345bca2675f016f058b2910548e8b0c "pdflatex"
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"Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "pdflatex"
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||||
"Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 ""
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||||
"Zusammenfassung_DC.toc" 1600272632 7376 92dc5590944bfbddf9b7155f48f21210 "pdflatex"
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"Zusammenfassung_DC.toc" 1600286192 7677 055f438e46365bb7f26c7569b268fdf8 "pdflatex"
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"chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600272630 17101 fcd3ee779a8d9c95b424486735cf18cd ""
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"chapters/Endliche Körper.tex" 1600270927 70 d413d126a5cc5f4ae28b8bbe2c8e1ed3 ""
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"chapters/Endliche Körper.tex" 1600286191 3328 2ff1862b342b955e8b9fbe364a07affe ""
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"chapters/IT-Sicherheit.tex" 1599950390 6191 fdec0aff09dab6668264963cb44ee2f3 ""
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"chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600002690 6678 5f1596dba278e6bc1791a5615776653a ""
|
||||
"chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600284018 6736 3dece8651acf670a27e1fb6d604e2027 ""
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||||
"chapters/Stromverschlüsselungsverfahren.tex" 1600194483 9836 ddaca4f3d88a46ce7c40ec5d75657c71 ""
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||||
"chapters/Substitutionsverfahren.tex" 1600001305 6264 cba30a66f463934bc822d2ee54ac4b90 ""
|
||||
"chapters/Verschlüsselungsverfahren.tex" 1600003902 7321 b77786564ba0de93d6d5b8a73400fcd1 ""
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@ -158,9 +159,9 @@
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"images/zustandsabhängige Stromverschlüsselung.png" 1600002333 10276 422a1760594d1c860f8d7aa6dc5ed032 ""
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||||
"images/Übertragungsmanipulation.png" 1599947212 3178 33bbd19fca19c787748d9158d802ceb1 ""
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(generated)
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"Zusammenfassung_DC.toc"
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"Zusammenfassung_DC.log"
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"Zusammenfassung_DC.pdf"
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"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf"
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"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log"
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"Zusammenfassung_DC.log"
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||||
"Zusammenfassung_DC.aux"
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"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log"
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"Zusammenfassung_DC.toc"
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||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf"
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@ -269,6 +269,10 @@ INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msbm10.tfm
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INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm
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||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/rsfs/rsfs10.tfm
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||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm
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||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx10.tfm
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||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx7.tfm
|
||||
INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm
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||||
INPUT /home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux
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INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc
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INPUT /usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc
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@ -1,4 +1,4 @@
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This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 18:10
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This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 21:56
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entering extended mode
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restricted \write18 enabled.
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file:line:error style messages enabled.
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@ -291,7 +291,7 @@ File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
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\tf@toc=\write3
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[2] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Substitutionsverfahren.tex
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Kapitel 1.
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<./images/Skytale.png, id=21, 614.6965pt x 351.3125pt>
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<./images/Skytale.png, id=22, 614.6965pt x 351.3125pt>
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File: ./images/Skytale.png Graphic file (type png)
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<use ./images/Skytale.png>
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Package pdftex.def Info: ./images/Skytale.png used on input line 6.
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@ -304,7 +304,7 @@ Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 11--12
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[3
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</home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/./images/Skytale.png>]
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<./images/Vignère-Verfahren.png, id=32, 444.41896pt x 257.5138pt>
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||||
<./images/Vignère-Verfahren.png, id=33, 444.41896pt x 257.5138pt>
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||||
File: ./images/Vignère-Verfahren.png Graphic file (type png)
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<use ./images/Vignère-Verfahren.png>
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Package pdftex.def Info: ./images/Vignère-Verfahren.png used on input line 50.
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@ -564,22 +564,22 @@ LaTeX Font Info: Font shape `T1/cmtt/bx/n' in size <10.95> not available
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(Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 244.
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) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Endliche Körper.tex [30]
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Kapitel 7.
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) [31
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[31
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] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) )
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]) [32] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) )
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Here is how much of TeX's memory you used:
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6337 strings out of 480478
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89016 string characters out of 5905960
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350904 words of memory out of 5000000
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22205 multiletter control sequences out of 15000+600000
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562824 words of font info for 113 fonts, out of 8000000 for 9000
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6345 strings out of 480478
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89122 string characters out of 5905960
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351938 words of memory out of 5000000
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||||
22212 multiletter control sequences out of 15000+600000
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||||
564056 words of font info for 117 fonts, out of 8000000 for 9000
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1141 hyphenation exceptions out of 8191
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||||
30i,10n,37p,377b,255s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
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||||
{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}</usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb>
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||||
Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (32 pages, 2599251 bytes).
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Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2603298 bytes).
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PDF statistics:
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241 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
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155 compressed objects within 2 object streams
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244 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
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||||
157 compressed objects within 2 object streams
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||||
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
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||||
116 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
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||||
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||||
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||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@ -95,3 +95,7 @@
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||||
\contentsline {section}{\numberline {6.6}AES (Advanced Encryption Standard)}{29}%
|
||||
\contentsline {subsection}{\numberline {6.6.1}AES-128}{29}%
|
||||
\contentsline {chapter}{\numberline {7}Endliche Körper $\mathbb {F}_{p^n}$}{31}%
|
||||
\contentsline {section}{\numberline {7.1}Polynomdivision mit Rest}{31}%
|
||||
\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}%
|
||||
\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}%
|
||||
\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}%
|
||||
|
||||
@ -1 +1,50 @@
|
||||
\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper}
|
||||
\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper}
|
||||
$\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}_p$ ($p$ ist eine Primzahl) ist ein Körper.
|
||||
Zudem können Körper auch für beliebige Primzahlpotenzen $p^n$ mit $n\in\mathbb{N},n>0$ mithilfe der Polynome aus $\mathbb{F}_p$ vom Grad $<n$ konstruiert werden:
|
||||
$$\begin{aligned}
|
||||
\mathbb{F}_{p^n}:=&\{a(x)\mid a(x)\in\mathbb{F}_p[x],\text{grad}(a(x))<n\}\\
|
||||
=&\{a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\mid a_i\in\mathbb{F}_p\}
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
Die normale Polynomaddition stellt bereits eine Addition in $\mathbb{F}_{p^n}$ dar.
|
||||
Die normale Polynommultiplikation ist allerdings in $\mathbb{F}_{p^n}$ nicht abgeschlossen.
|
||||
Das heißt es gibt häufig Produkte mit Polynomen vom Grad $>n$.
|
||||
Hierbei lässt sich allerdings analog zu $\mathbb{Z}$ (siehe \ref{Der Ring Z}) durch eine Polynomdivision mit Rest durch $p(x)$ ein Wert in $\mathbb{F}_{p^n}$ erzeugen.
|
||||
|
||||
\section{Polynomdivision mit Rest}
|
||||
Ist $\mathbb{F}$ ein Körper und $a(x),b(x)\in\mathbb{F}[x],b(x)\ne0$, so gibt es eindeutig bestimmte Polynome $q(x),r(x)\in\mathbb{F}$ mit:
|
||||
$$a(x)=b(x)\cdot q(x)+r(x)\text{ und } 0\le\text{grad}(r(x))<\text{grad}(b(x))$$
|
||||
Alternativ wird für den Rest $r(x)$ auch \say{$a(x) \mod b(x)=r(x)$} geschrieben.
|
||||
|
||||
\section{Berechnung der Inversen}
|
||||
Der größte gemeinsame Teiler (das Polynom mit den höchsten Grad, dass $a(x)$ und $b(x)$ teilt) kann mithilfe des Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{euklid}) berechnet werden.
|
||||
Ist $\mathbb{F}_{p^n}$ bezüglich eines irreduziblen Polynoms $p(x)$ definiert,
|
||||
lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
|
||||
|
||||
\section{$\mathbb{F}_2$}
|
||||
|
||||
\subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Polynome von Grad 1 (lineare Polynome) sind immer irreduziblen.
|
||||
Für $\mathbb{F}_2$ sind dies:
|
||||
$$\begin{aligned}
|
||||
p_{1,1}(x)=&x\\
|
||||
p_{1,2}(x)=&x+1
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
|
||||
\item Es gibt in $\mathbb{F}_2$ 4 paarweise verschiedene Polynome von Grad 2.
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3 davon haben eine Nullstelle und lassen sích daher in Linearfaktoren zerlegen.
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Das einzige irreduzible Polynom von Grad 2 ist:
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$$p_2(x)=x^2+x+1$$
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\item Ein Polynom von Grad 3 ist genau dann irreduzible, falls $p(x)$ keine Nullstellen hat.
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Dies trifft für die folgenden zwei Polynome zu:
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$$\begin{aligned}
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p_{3,1}(x)=&x^3+x+1\\
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p_{3,2}(x)=&x^3+x^2+1\\
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\end{aligned}$$
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\item Ein Polynom von Grad 4 ist genau dann irreduzible, wenn $p(x)$ keine Nullstelle hat und auch nicht das Quadrat von $p_2(x)$ ($x^4+x^2+1$) ist:
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$$\begin{aligned}
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p_{4,1}(x)=&x^4+x+1\\
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p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\
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p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
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\end{aligned}$$
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\end{itemize}
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@ -7,7 +7,7 @@
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a\mod b :&= r \\
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\end{aligned}$$
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\section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}
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\section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}\label{Der Ring Z}
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Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$
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\subsection{Addition und Multiplikation}\label{modulare_addition}
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@ -78,7 +78,7 @@
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Der Euklid'sche Algorithmus lässt sich auch über $\mathbb{Z}_n$ verwenden.
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Man spricht dann von dem erweiterten Euklid'schen Algorithmus.
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\subsection{Euklid'scher Algorithmus}
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\subsection{Euklid'scher Algorithmus}\label{euklid}
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gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{Z}$
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\begin{enumerate}
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\item $a:=a_0$ und $b:=b_0$
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@ -89,7 +89,7 @@
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\item goto 2.
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\end{enumerate}
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\subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}
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\subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}\label{erweiterter Euklid}
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gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{N}_0$\\
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gesucht: $\alpha\cdot a_0+\beta \cdot b_0 = g = ggT(a_0,b_0)$
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\begin{enumerate}
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