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chapters/Endliche Körper.tex

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-\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper}
+\chapter{Endliche Körper $\mathbb{F}_{p^n}$} \label{endliche Körper}
+    $\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}_p$ ($p$ ist eine Primzahl) ist ein Körper.
+    Zudem können Körper auch für beliebige Primzahlpotenzen $p^n$ mit $n\in\mathbb{N},n>0$ mithilfe der Polynome aus $\mathbb{F}_p$ vom Grad $<n$ konstruiert werden:
+    $$\begin{aligned}
+        \mathbb{F}_{p^n}:=&\{a(x)\mid a(x)\in\mathbb{F}_p[x],\text{grad}(a(x))<n\}\\
+        =&\{a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\mid a_i\in\mathbb{F}_p\}
+    \end{aligned}$$
+    Die normale Polynomaddition stellt bereits eine Addition in $\mathbb{F}_{p^n}$ dar.
+    Die normale Polynommultiplikation ist allerdings in $\mathbb{F}_{p^n}$ nicht abgeschlossen.
+    Das heißt es gibt häufig Produkte mit Polynomen vom Grad $>n$.
+    Hierbei lässt sich allerdings analog zu $\mathbb{Z}$ (siehe \ref{Der Ring Z}) durch eine Polynomdivision mit Rest durch $p(x)$ ein Wert in $\mathbb{F}_{p^n}$ erzeugen.
+
+    \section{Polynomdivision mit Rest}
+        Ist $\mathbb{F}$ ein Körper und $a(x),b(x)\in\mathbb{F}[x],b(x)\ne0$, so gibt es eindeutig bestimmte Polynome $q(x),r(x)\in\mathbb{F}$ mit:
+        $$a(x)=b(x)\cdot q(x)+r(x)\text{ und } 0\le\text{grad}(r(x))<\text{grad}(b(x))$$
+        Alternativ wird für den Rest $r(x)$ auch \say{$a(x) \mod b(x)=r(x)$} geschrieben.
+    
+    \section{Berechnung der Inversen}
+        Der größte gemeinsame Teiler (das Polynom mit den höchsten Grad, dass $a(x)$ und $b(x)$ teilt) kann mithilfe des Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{euklid}) berechnet werden.
+        Ist $\mathbb{F}_{p^n}$ bezüglich eines irreduziblen Polynoms $p(x)$ definiert, 
+        lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
+
+    \section{$\mathbb{F}_2$}
+        
+        \subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
+            \begin{itemize}
+                \item Polynome von Grad 1 (lineare Polynome) sind immer irreduziblen.
+                    Für $\mathbb{F}_2$ sind dies:
+                    $$\begin{aligned}
+                        p_{1,1}(x)=&x\\
+                        p_{1,2}(x)=&x+1
+                    \end{aligned}$$
+                
+                \item Es gibt in $\mathbb{F}_2$ 4 paarweise verschiedene Polynome von Grad 2.
+                    3 davon haben eine Nullstelle und lassen sích daher in Linearfaktoren zerlegen.
+                    Das einzige irreduzible Polynom von Grad 2 ist:
+                    $$p_2(x)=x^2+x+1$$
+                \item Ein Polynom von Grad 3 ist genau dann irreduzible, falls $p(x)$ keine Nullstellen hat.
+                    Dies trifft für die folgenden zwei Polynome zu:
+                    $$\begin{aligned}
+                        p_{3,1}(x)=&x^3+x+1\\
+                        p_{3,2}(x)=&x^3+x^2+1\\
+                    \end{aligned}$$
+                \item Ein Polynom von Grad 4 ist genau dann irreduzible, wenn $p(x)$ keine Nullstelle hat und auch nicht das Quadrat von $p_2(x)$ ($x^4+x^2+1$) ist:
+                    $$\begin{aligned}
+                        p_{4,1}(x)=&x^4+x+1\\
+                        p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\
+                        p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
+                    \end{aligned}$$
+            \end{itemize}

chapters/Modulare Arithmetik.tex

@@ -7,7 +7,7 @@
             a\mod b :&= r \\
         \end{aligned}$$
 
-    \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}
+    \section{Der Ring $\mathbb{Z}_n$}\label{Der Ring Z}
         Ein Ring $\mathbb{Z}_n$ ist definiert durch: $$\mathbb{Z}_n := {0,1,...,n-1}$$
 
         \subsection{Addition und Multiplikation}\label{modulare_addition}
@@ -78,7 +78,7 @@
         Der Euklid'sche Algorithmus lässt sich auch über $\mathbb{Z}_n$ verwenden.
         Man spricht dann von dem erweiterten Euklid'schen Algorithmus.
 
-        \subsection{Euklid'scher Algorithmus}
+        \subsection{Euklid'scher Algorithmus}\label{euklid}
             gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{Z}$
             \begin{enumerate}
                 \item $a:=a_0$ und $b:=b_0$
@@ -89,7 +89,7 @@
                 \item goto 2.
             \end{enumerate}
         
-        \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}
+        \subsection{erweiterter Euklid'scher Algorithmus}\label{erweiterter Euklid}
             gegeben: $a_0,b_0\in\mathbb{N}_0$\\
             gesucht: $\alpha\cdot a_0+\beta \cdot b_0 = g = ggT(a_0,b_0)$
             \begin{enumerate}