Endliche Körper finished
This commit is contained in:
Paul Lödige
parent
41f76bf241
commit
fed0be3262
@ -125,6 +125,7 @@
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.4.1}Triple-DES (3DES)}{27}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6.5}Meet-in-the-Middle-Angriff}{28}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6.6}AES (Advanced Encryption Standard)}{29}\protected@file@percent }
|
||||
\newlabel{aes}{{6.6}{29}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.6.1}AES-128}{29}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {7}Endliche Körper $\mathbb {F}_{p^n}$}{31}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
@ -134,3 +135,4 @@
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {7.3.1.1}Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in \mathbb {F}_2[x]$}{32}\protected@file@percent }
|
||||
|
||||
@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
# Fdb version 3
|
||||
["pdflatex"] 1600286191 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600286193
|
||||
["pdflatex"] 1600358573 "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" "Zusammenfassung_DC" 1600358575
|
||||
"./images/Skytale.png" 1599914207 1414106 7498f70ad27e17e63eb468c2321baa5c ""
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 ""
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux" 1600358575 13254 c5e37f4acc6cb1cc56ef06d9d89a4e17 ""
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 ""
|
||||
"/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc" 1591545468 2971 def0b6c1f0b107b3b936def894055589 ""
|
||||
"/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc" 1591545468 2900 1537cc8184ad1792082cd229ecc269f4 ""
|
||||
@ -125,11 +125,11 @@
|
||||
"/usr/share/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1591545468 33301 a3134070eacafb10b1f371612ce2650d ""
|
||||
"/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map" 1599679088 336293 c5f06245634c6948183f249094ec0495 ""
|
||||
"/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1599679062 2514046 697126967b119c0aab990fe8008da9f2 ""
|
||||
"Zusammenfassung_DC.aux" 1600286192 13065 687aa4e9aea90892d32aea638970d9d4 "pdflatex"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.aux" 1600358575 13254 c5e37f4acc6cb1cc56ef06d9d89a4e17 "pdflatex"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.tex" 1600270927 1131 65e2d95b9fc6a3fdcc9c96d4879ea722 ""
|
||||
"Zusammenfassung_DC.toc" 1600286192 7677 055f438e46365bb7f26c7569b268fdf8 "pdflatex"
|
||||
"chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600272630 17101 fcd3ee779a8d9c95b424486735cf18cd ""
|
||||
"chapters/Endliche Körper.tex" 1600286191 3328 2ff1862b342b955e8b9fbe364a07affe ""
|
||||
"Zusammenfassung_DC.toc" 1600358575 7798 9335dadd30ac30ba7ab5fca066ed8a34 "pdflatex"
|
||||
"chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex" 1600357819 17225 db24f9d3d23fd17831ff4473e048373c ""
|
||||
"chapters/Endliche Körper.tex" 1600358573 5003 49f8c4f5b7dd54aa3a8fb414841a771c ""
|
||||
"chapters/IT-Sicherheit.tex" 1599950390 6191 fdec0aff09dab6668264963cb44ee2f3 ""
|
||||
"chapters/Modulare Arithmetik.tex" 1600284018 6736 3dece8651acf670a27e1fb6d604e2027 ""
|
||||
"chapters/Stromverschlüsselungsverfahren.tex" 1600194483 9836 ddaca4f3d88a46ce7c40ec5d75657c71 ""
|
||||
@ -159,9 +159,9 @@
|
||||
"images/zustandsabhängige Stromverschlüsselung.png" 1600002333 10276 422a1760594d1c860f8d7aa6dc5ed032 ""
|
||||
"images/Übertragungsmanipulation.png" 1599947212 3178 33bbd19fca19c787748d9158d802ceb1 ""
|
||||
(generated)
|
||||
"Zusammenfassung_DC.pdf"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.log"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.aux"
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.log"
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.log"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.toc"
|
||||
"/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf"
|
||||
"Zusammenfassung_DC.pdf"
|
||||
|
||||
@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 16 SEP 2020 21:56
|
||||
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9) 17 SEP 2020 18:02
|
||||
entering extended mode
|
||||
restricted \write18 enabled.
|
||||
file:line:error style messages enabled.
|
||||
@ -556,27 +556,27 @@ File: ./images/AES S-Box.png Graphic file (type png)
|
||||
Package pdftex.def Info: ./images/AES S-Box.png used on input line 196.
|
||||
(pdftex.def) Requested size: 339.66945pt x 317.18542pt.
|
||||
[29 </home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/./images/AES S-Box.png (PNG copy)>]
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+cmtt on input line 244.
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for T1+cmtt on input line 245.
|
||||
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/t1cmtt.fd
|
||||
File: t1cmtt.fd 2019/12/16 v2.5j Standard LaTeX font definitions
|
||||
)
|
||||
LaTeX Font Info: Font shape `T1/cmtt/bx/n' in size <10.95> not available
|
||||
(Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 244.
|
||||
(Font) Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 245.
|
||||
) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Endliche Körper.tex [30]
|
||||
Kapitel 7.
|
||||
[31
|
||||
|
||||
]) [32] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) )
|
||||
Here is how much of TeX's memory you used:
|
||||
6345 strings out of 480478
|
||||
89122 string characters out of 5905960
|
||||
351938 words of memory out of 5000000
|
||||
22212 multiletter control sequences out of 15000+600000
|
||||
6346 strings out of 480478
|
||||
89127 string characters out of 5905960
|
||||
351949 words of memory out of 5000000
|
||||
22213 multiletter control sequences out of 15000+600000
|
||||
564056 words of font info for 117 fonts, out of 8000000 for 9000
|
||||
1141 hyphenation exceptions out of 8191
|
||||
30i,10n,37p,377b,255s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
|
||||
{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}</usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb>
|
||||
Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2603298 bytes).
|
||||
Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2604809 bytes).
|
||||
PDF statistics:
|
||||
244 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
|
||||
157 compressed objects within 2 object streams
|
||||
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@ -99,3 +99,4 @@
|
||||
\contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}%
|
||||
\contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}%
|
||||
\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}%
|
||||
\contentsline {subsubsection}{\numberline {7.3.1.1}Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in \mathbb {F}_2[x]$}{32}%
|
||||
|
||||
@ -166,7 +166,7 @@
|
||||
Durchschnittlich ist mit $1+\frac{|\mathscr K|}{|\mathscr M|}$ solcher Paare zu rechnen.
|
||||
Die Paare können nun durch Ausprobieren der anderen bekannten Nachrichten $\{m_i\setminus m_1\}$ schnell ausgeschlossen werden.
|
||||
|
||||
\section{AES (Advanced Encryption Standard)}
|
||||
\section{AES (Advanced Encryption Standard)}\label{aes}
|
||||
Der AES ist für Schlüssel mit den Bitlängen 128, 192 und 256 definiert.
|
||||
Im folgenden wird AES-128 als Synonym für alle möglichen Schlüssellängen verwendet.
|
||||
|
||||
@ -219,7 +219,8 @@
|
||||
03 & 02 & 01 & 02 \\
|
||||
\end{pmatrix}$$
|
||||
Hierbei ist wichtig anzumerken, dass die Multiplikation nicht in $\mathbf{Z}_{256}$ berechnet wird.
|
||||
Stattdessen wird sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper})
|
||||
Stattdessen sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper}),
|
||||
der bezüglich des irreduziblen Polynoms $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ definiert ist.
|
||||
\item AddRoundKey()\\
|
||||
Es wird eine XOR-Operation der Einträge des S-Arrays mit den entsprechenden Einträgen aus \textbf{K} durchgeführt.
|
||||
Dies entspricht einer Matrixaddition in $\mathbb{F}_{256}$:
|
||||
|
||||
@ -21,6 +21,8 @@
|
||||
lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
|
||||
|
||||
\section{$\mathbb{F}_2$}
|
||||
Ein Polynom von Grad $n$ ist durch die Folge von $n+1$ Koeffizienten $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ eindeutig definiert.
|
||||
Bei Polynomen aus $\mathbb{F}_2[x]$ ergibt dies eine Bitfolge.
|
||||
|
||||
\subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
@ -47,4 +49,27 @@
|
||||
p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\
|
||||
p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$}
|
||||
Das Polynom, welches die MixColumns()-Substitution im AES (siehe \ref{aes}) definiert ist auf die Irreduzibilität zu überprüfen.
|
||||
Falls $m(x)$ reduzibel wäre, gebe es einen irreduziblen Faktor $d(x)$ für den gilt:
|
||||
$$\text{grad}(d(x))\in\{1,2,3,4\}$$
|
||||
\vspace{2mm}
|
||||
Nun werden die verschiedenen Grade untersucht:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item es gibt keinen linearen Faktor, da $m(0)=m(1)=1\ne 0$
|
||||
\item eine Polynomdivision mit $p_2(x)$ ergibt $d(x)\mod p_2(x)=x+1\ne 0$
|
||||
\item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 3 ergeben:
|
||||
$$\begin{aligned}
|
||||
m(x)\mod p_{3,1}=&x^2\\
|
||||
m(x)\mod p_{3,2}=&x+1\\
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
\item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 4 ergeben:
|
||||
$$\begin{aligned}
|
||||
m(x)\mod p_{4,1}=&x^3+x^2+1\\
|
||||
m(x)\mod p_{4,2}=&x^3+x^2\\
|
||||
m(x)\mod p_{4,3}=&x^3+x^2\\
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Da es keinen irreduziblen Faktor $d(x)$ gibt ist $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ selbst irreduzibel.
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user