Endliche Körper finished

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@@ -166,7 +166,7 @@
         Durchschnittlich ist mit $1+\frac{|\mathscr K|}{|\mathscr M|}$ solcher Paare zu rechnen.
         Die Paare können nun durch Ausprobieren der anderen bekannten Nachrichten $\{m_i\setminus m_1\}$ schnell ausgeschlossen werden.
 
-    \section{AES (Advanced Encryption Standard)}
+    \section{AES (Advanced Encryption Standard)}\label{aes}
         Der AES ist für Schlüssel mit den Bitlängen 128, 192 und 256 definiert.
         Im folgenden wird AES-128 als Synonym für alle möglichen Schlüssellängen verwendet.
 
@@ -219,7 +219,8 @@
                         03 & 02 & 01 & 02 \\
                     \end{pmatrix}$$
                     Hierbei ist wichtig anzumerken, dass die Multiplikation nicht in $\mathbf{Z}_{256}$ berechnet wird.
-                    Stattdessen wird sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper})
+                    Stattdessen sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper}),
+                    der bezüglich des irreduziblen Polynoms $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ definiert ist.
                 \item AddRoundKey()\\
                     Es wird eine XOR-Operation der Einträge des S-Arrays mit den entsprechenden Einträgen aus \textbf{K} durchgeführt.
                     Dies entspricht einer Matrixaddition in $\mathbb{F}_{256}$:

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@@ -21,6 +21,8 @@
         lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
 
     \section{$\mathbb{F}_2$}
+        Ein Polynom von Grad $n$ ist durch die Folge von $n+1$ Koeffizienten $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ eindeutig definiert.
+        Bei Polynomen aus $\mathbb{F}_2[x]$ ergibt dies eine Bitfolge.
         
         \subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
             \begin{itemize}
@@ -47,4 +49,27 @@
                         p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+1\\
                         p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
                     \end{aligned}$$
-            \end{itemize}
+            \end{itemize}
+
+            \subsubsection{Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$}
+                Das Polynom, welches die MixColumns()-Substitution im AES (siehe \ref{aes}) definiert ist auf die Irreduzibilität zu überprüfen.
+                Falls $m(x)$ reduzibel wäre, gebe es einen irreduziblen Faktor $d(x)$ für den gilt:
+                $$\text{grad}(d(x))\in\{1,2,3,4\}$$
+                \vspace{2mm}
+                Nun werden die verschiedenen Grade untersucht:
+                \begin{enumerate}
+                    \item es gibt keinen linearen Faktor, da $m(0)=m(1)=1\ne 0$
+                    \item eine Polynomdivision mit $p_2(x)$ ergibt $d(x)\mod p_2(x)=x+1\ne 0$
+                    \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 3 ergeben:
+                        $$\begin{aligned}
+                            m(x)\mod p_{3,1}=&x^2\\
+                            m(x)\mod p_{3,2}=&x+1\\
+                        \end{aligned}$$
+                    \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 4 ergeben:
+                        $$\begin{aligned}
+                            m(x)\mod p_{4,1}=&x^3+x^2+1\\
+                            m(x)\mod p_{4,2}=&x^3+x^2\\
+                            m(x)\mod p_{4,3}=&x^3+x^2\\
+                        \end{aligned}$$
+                \end{enumerate}
+                Da es keinen irreduziblen Faktor $d(x)$ gibt ist $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ selbst irreduzibel.