Endliche Körper finished

Zusammenfassung_DC.aux

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+\newlabel{aes}{{6.6}{29}}
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 \@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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Zusammenfassung_DC.fdb_latexmk

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Zusammenfassung_DC.log

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-This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9)  16 SEP 2020 21:56
+This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Arch Linux) (preloaded format=pdflatex 2020.9.9)  17 SEP 2020 18:02
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  file:line:error style messages enabled.
@@ -556,27 +556,27 @@ File: ./images/AES S-Box.png Graphic file (type png)
 Package pdftex.def Info: ./images/AES S-Box.png  used on input line 196.
 (pdftex.def)             Requested size: 339.66945pt x 317.18542pt.
  [29 </home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/./images/AES S-Box.png (PNG copy)>]
-LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+cmtt on input line 244.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+cmtt on input line 245.
  (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/t1cmtt.fd
 File: t1cmtt.fd 2019/12/16 v2.5j Standard LaTeX font definitions
 )
 LaTeX Font Info:    Font shape `T1/cmtt/bx/n' in size <10.95> not available
-(Font)              Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 244.
+(Font)              Font shape `T1/cmtt/m/n' tried instead on input line 245.
 ) (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/chapters/Endliche Körper.tex [30]
 Kapitel 7.
 [31
 
 ]) [32] (/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.aux) ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:
- 6345 strings out of 480478
+ 6346 strings out of 480478
- 89122 string characters out of 5905960
+ 89127 string characters out of 5905960
- 351938 words of memory out of 5000000
+ 351949 words of memory out of 5000000
- 22212 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 22213 multiletter control sequences out of 15000+600000
  564056 words of font info for 117 fonts, out of 8000000 for 9000
  1141 hyphenation exceptions out of 8191
  30i,10n,37p,377b,255s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
 {/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}</usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb></usr/share/texmf-dist/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb>
-Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2603298 bytes).
+Output written on "/home/paul/Documents/TH/Datensicherheit (DC)/Zusammenfassung/Zusammenfassung_DC.pdf" (33 pages, 2604809 bytes).
 PDF statistics:
  244 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
  157 compressed objects within 2 object streams

Zusammenfassung_DC.toc

@@ -99,3 +99,4 @@
 \contentsline {section}{\numberline {7.2}Berechnung der Inversen}{31}%
 \contentsline {section}{\numberline {7.3}$\mathbb {F}_2$}{31}%
 \contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Irreduzible Polynome über $\mathbb {F}_2$}{31}%
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {7.3.1.1}Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in \mathbb {F}_2[x]$}{32}%

chapters/Blockverschlüsselungsverfahren.tex

@@ -166,7 +166,7 @@
         Durchschnittlich ist mit $1+\frac{|\mathscr K|}{|\mathscr M|}$ solcher Paare zu rechnen.
         Die Paare können nun durch Ausprobieren der anderen bekannten Nachrichten $\{m_i\setminus m_1\}$ schnell ausgeschlossen werden.
 
-    \section{AES (Advanced Encryption Standard)}
+    \section{AES (Advanced Encryption Standard)}\label{aes}
         Der AES ist für Schlüssel mit den Bitlängen 128, 192 und 256 definiert.
         Im folgenden wird AES-128 als Synonym für alle möglichen Schlüssellängen verwendet.
 
@@ -219,7 +219,8 @@
                         03 & 02 & 01 & 02 \\
                     \end{pmatrix}$$
                     Hierbei ist wichtig anzumerken, dass die Multiplikation nicht in $\mathbf{Z}_{256}$ berechnet wird.
-                    Stattdessen wird sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper})
+                    Stattdessen sind die Elemente als Elemente des Körpers $\mathbf{F}_{256}$ aufzufassen (siehe \ref{endliche Körper}),
+                    der bezüglich des irreduziblen Polynoms $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ definiert ist.
                 \item AddRoundKey()\\
                     Es wird eine XOR-Operation der Einträge des S-Arrays mit den entsprechenden Einträgen aus \textbf{K} durchgeführt.
                     Dies entspricht einer Matrixaddition in $\mathbb{F}_{256}$:

chapters/Endliche Körper.tex

@@ -21,6 +21,8 @@
         lässt sich mithilfe der Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus (siehe \ref{erweiterter Euklid}) auf die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine Inverse von $a(x)$ in $\mathbb{F}_{p^n}$ bestimmen.
 
     \section{$\mathbb{F}_2$}
+        Ein Polynom von Grad $n$ ist durch die Folge von $n+1$ Koeffizienten $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ eindeutig definiert.
+        Bei Polynomen aus $\mathbb{F}_2[x]$ ergibt dies eine Bitfolge.
         
         \subsection{Irreduzible Polynome über $\mathbb{F}_2$}
             \begin{itemize}
@@ -48,3 +50,26 @@
                         p_{4,1}(x)=&x^4+x^3+x^2+x+1\\
                     \end{aligned}$$
             \end{itemize}
+
+            \subsubsection{Irreduzibilität von $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$}
+                Das Polynom, welches die MixColumns()-Substitution im AES (siehe \ref{aes}) definiert ist auf die Irreduzibilität zu überprüfen.
+                Falls $m(x)$ reduzibel wäre, gebe es einen irreduziblen Faktor $d(x)$ für den gilt:
+                $$\text{grad}(d(x))\in\{1,2,3,4\}$$
+                \vspace{2mm}
+                Nun werden die verschiedenen Grade untersucht:
+                \begin{enumerate}
+                    \item es gibt keinen linearen Faktor, da $m(0)=m(1)=1\ne 0$
+                    \item eine Polynomdivision mit $p_2(x)$ ergibt $d(x)\mod p_2(x)=x+1\ne 0$
+                    \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 3 ergeben:
+                        $$\begin{aligned}
+                            m(x)\mod p_{3,1}=&x^2\\
+                            m(x)\mod p_{3,2}=&x+1\\
+                        \end{aligned}$$
+                    \item die Polynomdivisionen mit den irreduziblen Polynomen vom Grad 4 ergeben:
+                        $$\begin{aligned}
+                            m(x)\mod p_{4,1}=&x^3+x^2+1\\
+                            m(x)\mod p_{4,2}=&x^3+x^2\\
+                            m(x)\mod p_{4,3}=&x^3+x^2\\
+                        \end{aligned}$$
+                \end{enumerate}
+                Da es keinen irreduziblen Faktor $d(x)$ gibt ist $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ selbst irreduzibel.